第三章导数及其应用3.2导数的计算A级基础巩固一、选择题1．给出下列结论：①(cosx)′＝sinx；②′＝cos；③若y＝，则y′＝－；④′＝.其中正确的个数是()A．0B．1C．2D．3解析：(cosx)′＝－sinx，所以①错误；sin＝，而′＝0，所以②错误；′＝＝＝－2x－3，所以③错误；′＝＝＝x－＝，所以④正确．答案：B2．f(x)＝x3，f′(x0)＝6，则x0等于()A.B．－C．±D．±1解析：f′(x)＝3x2，由f′(x0)＝6，知3x＝6，所以x0＝±.答案：C3．函数y＝的导数是()A.B.C.D.解析：y′＝′＝＝＝.答案：A4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D.解析：因为y＝ex，所以y′＝ex，所以y′|x＝2＝e2＝k，所以切线方程为y－e2＝e2(x－2)，即y＝e2x－e2.在切线方程中，令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，所以S三角形＝×|－e2|×1＝.答案：D5．若f0(x)＝sinx，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)＝()A．sinxB．－sinxC．cosxD．－cosx解析：因为f1(x)＝(sinx)′＝cosx，f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，f5(x)＝(sinx)′＝cosx，所以循环周期为4，因此f2013(x)＝f1(x)＝cosx.答案：C二、填空题6．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为________．解析：设点P的坐标为(x0，y0)，因为f′(x)＝4x3－1，所以4x－1＝3，所以x0＝1.所以y0＝14－1＝0，所以即得P(1，0)．答案：(1，0)7．已知f(x)＝x3＋3xf′(0)，则f′(1)＝________．解析：由于f′(0)是一常数，所以f′(x)＝x2＋3f′(0)，令x＝0，则f′(0)＝0，所以f′(1)＝12＋3f′(0)＝1.答案：18．曲线y＝x3＋3x2＋6x－10的切线中，斜率最小的切线方程是____________________．解析：y′＝3x2＋6x＋6＝3[(x＋1)2＋1]，所以当x＝－1时，y′取最小值3.此时切点坐标为(－1，－14)．所以切线方程为y＋14＝3(x＋1)，即3x－y－11＝0.答案：3x－y－11＝0三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(2x2＋3)(3x－1)；(2)y＝(－2)2；(3)y＝x－sincos.解：(1)法一：y′＝(2x2＋3)′(3x－1)＋(2x2＋3)(3x－1)′＝4x(3x－1)＋3(2x2＋3)＝18x2－4x＋9.法二：因为y＝(2x2＋3)(3x－1)＝6x3－2x2＋9x－3，所以y′＝(6x3－2x2＋9x－3)′＝18x2－4x＋9.(2)因为y＝(－2)2＝x－4＋4，所以y′＝x′－(4)′＋4′＝1－4×x－＝1－2x－.(3)因为y＝x－sincos＝x－sinx，所以y′＝x′－′＝1－cosx.10．已知曲线f(x)＝x3－3x，过点A(0，16)作曲线f(x)的切线，求曲线的切线方程．解：设切点为(x0，y0)．则由导数定义得切线的斜率k＝f′(x0)＝3x－3，所以切线方程为y＝(3x－3)x＋16，又切点(x0，y0)在切线上，所以y0＝3(x－1)x0＋16，即x－3x0＝3(x－1)x0＋16，解得x0＝－2，所以切线方程为9x－y＋16＝0.B级能力提升1．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)解析：y′＝－＝－，设t＝ex∈(0，＋∞)，则y′＝－＝－，因为t＋≥2，所以y′∈[－1，0)，α∈.答案：D2．点P是曲线y＝ex上任意一点，则点P到直线y＝x的最小距离为________．解析：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图，则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即＝1.因为y′＝(ex)′＝ex，所以ex0＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0，1)．利用点到直线的距离公式得距离为.答案：3．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积为定值，并求此定值．(1)解：f′(x)＝a＋.因为点(2，f(2))在切线7x－4y－12＝0上，所以f(2)＝＝.又曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0，所以⇒⇒所以f(x)的解析式为f(x)＝x－.(2)证明：设为曲线y＝f(x)上任意一点，则切线斜率k＝1＋，切线方程为y－＝(x－x0)，令x＝0，得y＝－.由得所以曲线y＝f(x)上任意一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形的面积S＝|2x0||－|＝6，为定值．
