3.3导数在研究函数中的应用3.3.2函数的极值与导数A级基础巩固一、选择题1．可导“函数y＝f(x)在一点的导数值为0”是“函数y＝f(x)在这点取得极值”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：对于f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，f′(0)＝0，不能推出f(x)在x＝0处取极值，反之成立．答案：B2．已知可导函数f(x)，x∈R，且仅在x＝1处，f(x)存在极小值，则()A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＞0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)＜0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0解析：因为f(x)在x＝1处存在极小值，所以x＜1时，f′(x)＜0，x＞1时，f′(x)＞0.答案：C3．函数y＝x3－3x2－9x(－2＜x＜2)有()A．极大值5，极小值－27B．极大值5，极小值－11C．极大值5，无极小值D．极小值－27，无极大值解析：由y′＝3x2－6x－9＝0，得x＝－1或x＝3，当x＜－1或x＞3时，y′＞0；当－1＜x＜3时，y′＜0.故当x＝－1时，函数有极大值5；x取不到3，故无极小值．答案：C4．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为()A．－1＜a＜2B．－3＜a＜6C．a＜－1或a＞2D．a＜－3或a＞6解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋(a＋6)，因为f(x)既有极大值又有极小值，那么Δ＝(2a)2－4×3×(a＋6)＞0，解得a＞6或a＜－3.答案：D5．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则()A．a＜－1B．a＞－1C．a＞－D．a＜－解析：y′＝ex＋a＝0，ex＝－a，因为x＞0，所以ex＞1，即－a＞1，所以a＜－1.答案：A二、填空题6．函数f(x)＝x3－6x＋a的极大值为________，极小值为________．解析：f′(x)＝x2－6令f′(x)＝0，得x＝－或x＝，所以f(x)极大值＝f(－)＝a＋4，f(x)极小值＝f()＝a－4.答案：a＋4，a－4.7．若函数f(x)＝在x＝1处取得极值，则实数a＝______．解析：由题意知f′(x)＝＝，f′(1)＝＝0，解得a＝3.答案：38.如果函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，给出下列判断：①函数y＝f(x)在区间内单调递增；②函数y＝f(x)在区间内单调递减；③函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增；④当x＝2时，函数y＝f(x)有极小值；⑤当x＝－时，函数y＝f(x)有极大值．则上述判断正确的是________(填序号)．解析：从图象知，当x∈时f′(x)＞0，所以函数f(x)在内不单调，同理，函数f(x)在内也不单调，故①②均不正确；当x∈(4，5)时，f′(x)＞0，所以函数y＝f(x)在区间(4，5)内单调递增，故③正确；由于f′(2)＝0，并且在x＝2的左、右两侧的附近分别有f′(x)＞0与f′(x)＜0，所以当x＝2时函数取得极大值，而在x＝－的左、右两侧的附近均为f′(x)＞0，所以x＝－不是函数的极值点，即④⑤均不正确．答案：③三、解答题9．已知f(x)＝x3－x2－2x，求f(x)的极大值与极小值．解：由已知得f(x)的定义域为R.f′(x)＝x2－x－2＝(x＋1)(x－2)．令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝2.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：x(－∞，－1)－1(－1，2)2(2，＋∞)f′(x)＋0－0＋f′(x)↗极大值↘极小值↗因此，当x＝－1时，f(x)取得极大值，且极大值为f(－1)＝×(－1)3－×(－1)2－2×(－1)＝；当x＝2时，f(x)取得极小值，且极小值为f(2)＝×23－×22－2×2＝－.从而f(x)的极大值为，极小值为－.10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处取极值10，求f(2)的值．解：f′(x)＝3x2＋2ax＋b.由题意得即解得或当a＝4，b＝－11时，令f′(x)＝0，得x1＝1，x2＝－.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：x－(－，1)1(1，＋∞)f′(x)＋0－0＋f′(x)↗极大值↘极小值↗显然函数f(x)在x＝1处取极小值，符合题意，此时f(2)＝18.当a＝－3，b＝3时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，所以f(x)在x＝1处没有极值，不合题意．综上可知f(2)＝18.B级能力提升1．函数f(x)＝x3－3x－1，若对于区间[－3，2]上的任意x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤t，则实数t的最小值是()A．20B．18C．3D．0解析：因为f′(x)＝3x2－3＝3(x－1)(x＋1)，令f′(x)＝0得x＝±1，可知f(x)在x...
