3.3导数在研究函数中的应用3.3.1函数的单调性与导数A级基础巩固一、选择题1．函数y＝x2－lnx的单调减区间是()A．(0，1)B．(0，1)∪(－∞，－1)C．(－∞，1)D．(－∞，＋∞)解析：因为y＝x2－lnx的定义域为(0，＋∞)，所以y′＝x－，令y′＜0，即x－＜0，解得：0＜x＜1或x＜－1.又因为x＞0，所以0＜x＜1.答案：A2．下列函数中，在(0，＋∞)内为增函数的是()A．y＝sinxB．y＝xe2C．y＝x3－xD．y＝lnx－x解析：显然y＝sinx在(0，＋∞)上既有增又有减，故排除A；对于函数y＝xe2，因e2为大于零的常数，不用求导就知y＝xe2在(0，＋∞)内为增函数；对于C，y′＝3x2－1＝3，故函数在和上为增函数，在上为减函数；对于D，y′＝－1(x＞0)．故函数在(1，＋∞)上为减函数，在(0，1)上为增函数．答案：B3．函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c为实数，当a2－3b＜0时，f(x)是()A．增函数B．减函数C．常数D．既不是增函数也不是减函数解析：求函数的导函数f′(x)＝3x2＋2ax＋b，导函数对应方程f′(x)＝0的Δ＝4(a2－3b)＜0，所以f′(x)＞0恒成立，故f(x)是增函数．答案：A4．若函数y＝f(x)在定义域(－，3)内可导，其图象如图所示，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集是()A.，[2，3)B.，C.，[1，2]D.，，解析：求f′(x)≤0的解集，即求函数f(x)在上的单调递减区间．由图象，可知函数y＝1f(x)的单调递减区间为和[2，3)．答案：A5．已知对任意实数x，有f(－x)＝－f(x)，且当x＞0时，有f′(x)＞0，则当x＜0时，有()A．f′(x)≥0B．f′(x)＞0C．f′(x)≤0D．f′(x)＜0解析：因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数，图象关于原点对称，因为当x＞0时，f′(x)＞0，所以f(x)为增函数，当x＜0时，f(x)也为增函数，所以f′(x)＞0.答案：B二、填空题6．函数f(x)＝x－2sinx在(0，π)上的单调递增区间为________．解析：令f′(x)＝1－2cosx＞0，得cosx＜，又x∈(0，π)，所以＜x＜π.答案：7．已知函数f(x)＝＋lnx，则f(2)，f(3)，f(e)按从小到大排列应为________.解析：因为在定义域(0，＋∞)上f′(x)＝＋＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以有f(2)＜f(e)＜f(3)．答案：f(2)＜f(e)＜f(3)8．在下列命题中，真命题是________(填序号)．①若f(x)在(a，b)内是增函数，则对任意x∈(a，b)，都应有f′(x)＞0；②若在(a，b)内f′(x)存在，则f(x)必为单调函数；③若在(a，b)内对任意x都有f′(x)＞0，则f(x)在(a，b)内是增函数；④若可导函数在(a，b)内有f′(x)＜0，则在(a，b)内有f(x)＜0.解析：对于①，可以存在x0，使f′(x0)＝0不影响区间内函数的单调性；对于②，导数f′(x)符号不确定，函数不一定是单调函数；对于④，f′(x)＜0只能得到f(x)单调递减．答案：③三、解答题9．证明：函数f(x)＝在区间(0，2)内是增函数．证明：f′(x)＝＝.因为0＜x＜2，所以lnx＜ln2＜1，故1－lnx＞0.所以f′(x)＝＞0.根据导数与函数单调性的关系，得函数f(x)＝在区间(0，2)内是增函数．10．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图象经过点P(0，2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解：(1)由y＝f(x)的图象经过点P(0，2)，知d＝2，所以f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.由在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0，如－6－f(－1)＋7＝0，即f(－1)＝1，f′(－1)＝6.所以即解得b＝c＝－3.故所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.2(2)f′(x)＝3x2－6x－3，令f′(x)＞0，得x＜1－或x＞1＋；令f′(x)＜0，得1－＜x＜1＋.故f(x)＝x3－3x2－3x＋2的单调递增区间为(－∞，1－)，(1＋，＋∞)，单调递减区间为(1－，1＋)．B级能力提升1．设f(x)，g(x)在[a，b]上可导，且f′(x)＞g′(x)，则当a＜x＜b时，有()A．f(x)＞g(x)B．f(x)＜g(x)C．f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)＞g(x)＋f(b)解析：因为f′(x)－g′(x)＞0，所以′＞0，所以f(x)－g(x)在[a，b]上是增函数，所以当a＜x＜b时f(x)－g(x)＞f(a)－g(a)，所以f(x)＋g(a)＞g(x)＋f(a)．答案：C2．若函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的单调递减区间为(－1，2)，则b＝________，c＝______...
