课时分层作业(二十一)函数的平均变化率(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知A(1，2)，B(－3，－4)，C(2，m)，若A，B，C三点在同一条直线上，则m＝()A．B．3C．D．4C[∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，∴＝，解得m＝.故选C.]2．函数y＝1在[2，2＋Δx]上的平均变化率是()A．0B．1C．3D．ΔxA[＝＝0.故选A.]3．质点运动规律为s＝2t2＋5，则在时间(3，3＋Δt)中，相应的平均速度等于()A．6＋ΔtB．12＋Δt＋C．12＋2ΔtD．12C[＝＝12＋2Δt.故选C.]4．如果函数y＝ax＋b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a＝()A．－3B．2C．3D．－2C[根据平均变化率的定义，可知＝＝a＝3，故选C.]5．已知函数f(x)的定义域为A，如果对于定义域内某个区间I上的任意两个不同的自变量x1，x2，都有＞0，则()A．f(x)在这个区间上为增函数B．f(x)在这个区间上为减函数C．f(x)在这个区间上的增减性不确定D．f(x)在这个区间上为常数函数A[①当x1＞x2时，x1－x2＞0，则f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．②当x1＜x2时，x1－x2＜0，则f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在区间I上是增函数．综上可知f(x)在区间I上是增函数，故选A.]二、填空题6．函数y＝－x2＋x在x＝－1附近的平均变化率为________．3－Δx[＝＝3－Δx.]7．汽车行驶的路程s和时间t之间的函数关系图像如图所示，在时间段[t0，t1]，[t1，t2]，[t2，t3]上的平均速度分别为v1，v2，v3，则三者的大小关系为________．v1＜v2＜v3[v1＝＝kOA，v2＝＝kAB，v3＝＝kBC，而由图像知kOA＜kAB＜kBC，∴v1＜v2＜v3．]8．(一题两空)函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为________，当x0＝2，Δx＝0.1时平均变化率的值为________．6x0＋3Δx12.3[函数f(x)＝3x2＋2在区间[x0，x0＋Δx]上的平均变化率为＝＝＝6x0＋3Δx.当x0＝2，Δx＝0.1时，函数f(x)＝3x2＋2在区间[2，2.1]上的平均变化率为6×2＋3×0.1＝12.3.]三、解答题9．判断函数g(x)＝(k＜0，k为常数)在(－∞，0)上的单调性．[解]设x1，x2∈(－∞，0)，且x1＜x2，则g(x1)－g(x2)＝－＝，＝＝－.∵x1＜0，x2＜0，k＜0，∴＝－＞0，∴g(x)＝(k＜0)在(－∞，0)上为增函数．10．已知函数f(x)＝，x∈[3，5].(1)判断函数在区间[3，5]上的单调性，并给出证明；(2)求该函数的最大值和最小值．[解](1)函数f(x)在[3，5]上是增函数．证明：设任意x1，x2满足3≤x1＜x2≤5，则f(x1)－f(x2)＝－＝＝，所以＝＝.因为3≤x1＜x2≤5，所以x1＋1＞0，x2＋1＞0，所以＝＞0，所以f(x)＝在[3，5]上是增函数．(2)f(x)min＝f(3)＝＝，f(x)max＝f(5)＝＝.11．若函数f(x)＝－x2＋10的图像上一点及邻近一点，则＝()A．3B．－3C．－3－(Δx)2D．－Δx－3D[∵Δy＝f－f＝－3Δx－(Δx)2，∴＝＝－3－Δx，故选D.]12.(多选题)下列各选项正确的有()A．若x1，x2∈I，当x1＜x2时，f(x1)＜f(x2)，则y＝f(x)在I上是增函数B．函数y＝x2在R上是增函数C．函数y＝－在定义域上不是增函数D．函数y＝x2的单调递减区间为(－∞，0]CD[A中，没强调x1，x2是区间I上的任意两个数，故不正确；B中，y＝x2在x≥0时是增函数，在x<0时是减函数，从而y＝x2在整个定义域上不具有单调性，故不正确；C中，y＝－在整个定义域内不具有单调性，故正确；D正确．]13．已知曲线y＝－1上两点A，B(2＋Δx，－＋Δy)，当Δx＝1时，割线AB的斜率为________．－[∵Δy＝－＝－＝＝，∴＝＝，即k＝＝－.∴当Δx＝1时，k＝－＝－.]14．如图是函数y＝f(x)的图像，则函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为________．[由函数f(x)的图像知，f(x)＝所以函数f(x)在区间[0，2]上的平均变化率为＝＝.]15．已知函数f(x)＝，x∈[1，＋∞).(1)当a＝时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)＞0恒成立，试求实数a的取值范围．[解](1)当a＝时，f(x)＝x＋＋2.设1≤x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝(x2－x1)·，∴＝＝.∵1≤x1＜x2，∴2x1x2＞2，∴＝＞0，∴f(x)在区间[1，＋∞)上为增函数，∴f(x)在区间[1，＋∞)上的最小值为f(1)＝.(2)在区间[1，＋∞)上f(x)＞0恒成立⇔x2＋2x＋a＞0恒成立．设y＝x2＋2x＋a，x∈[1，＋∞)，则函数y＝x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1在区间[1，＋∞)上是增函数．所以当x＝1时，y取最小值，即ymin＝3＋a，于是当且仅当ymin＝3＋a＞0时，函数f(x)＞0恒成立，故a＞－3，实数a的取值范围为(－3，＋∞).
