【课堂新坐标】2016-2017学年高中数学第一讲相似三角形的判定及有关性质学业分层测评3相似三角形的判定新人教A版选修4-1(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．如图1312，在正方形网格上有6个三角形：①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，⑤△FGH，⑥△EFK.其中，②～⑥中与三角形①相似的是()图1312A．②③④B．③④⑤C．④⑤⑥D．②③⑥【解析】由相似三角形判定定理知选B.【答案】B2．如图1313，在△ABC中，M在BC上，N在AM上，CM＝CN，且＝，下列结论中正确的是()图1313A．△ABM∽△ACBB．△ANC∽△AMBC．△ANC∽△ACMD．△CMN∽△BCA【解析】 CM＝CN，∴∠CMN＝∠CNM. ∠AMB＝∠CNM＋∠MCN，∠ANC＝∠CMN＋∠MCN，∴∠AMB＝∠ANC.又＝，∴△ANC∽△AMB.【答案】B3．如图1314，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，则等于()【导学号：07370013】图1314A.B.C.D.【解析】 AF⊥DE，∴Rt△DAO∽Rt△DEA，∴＝＝.【答案】D4．如图1315，在等边三角形ABC中，E为AB中点，点D在AC上，使得＝，则有()图1315A．△AED∽△BEDB．△AED∽△CBDC．△AED∽△ABDD．△BAD∽△BCD【解析】因为∠A＝∠C，＝＝2，所以△AED∽△CBD.【答案】B5.如图1316所示，已知点E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，BE，CF相交于点G，FG＝2，则CF的长为()图1316A．4B．4.5C．5D．6【解析】 E，F分别是△ABC中AC，AB边的中点，∴FE∥BC，由相似三角形的预备定理，得△FEG∽△CBG，∴＝＝.又FG＝2，∴GC＝4，∴CF＝6.【答案】D二、填空题6．如图1317，BD⊥AE，∠C＝90°，AB＝4，BC＝2，AD＝3，则DE＝________，CE＝________.图1317【解析】在Rt△ACE和Rt△ADB中，∠A为公共角，∴△ACE∽△ADB，∴＝，∴AE＝＝＝＝8，则DE＝AE－AD＝5，在Rt△ACE中，CE＝＝＝2.【答案】527．如图1318，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则AE＝________.图1318【解析】由∠B＝∠D，AE⊥BC及∠ACD＝90°可以推得：Rt△ABE∽Rt△ADC，故＝∴AE＝＝2.【答案】28.如图1319，在平行四边形ABCD中，E在DC上，若DE∶EC＝1∶2，则BF∶BE＝________.【导学号：07370014】图1319【解析】 DE∶EC＝1∶2，∴DC∶EC＝3∶2，∴AB∶EC＝3∶2. AB∥EC，∴△ABF∽△CEF，∴＝＝，∴＝.【答案】3∶5三、解答题9．如图1320，已知△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于点F.求证：PB2＝PE·PF.图1320【证明】连接PC. AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB. AD是中线，∴AD垂直平分BC，∴PB＝PC，∴∠PBD＝∠PCD，∴∠ABP＝∠ACP.又 CF∥AB，∴∠ABP＝∠F＝∠ACP，而∠CPE＝∠FPC.∴△PCE∽△PFC，∴＝，∴PC2＝PE·PF，即PB2＝PE·PF.10.如图1321，某市经济开发区建有B，C，D三个食品加工厂，这三个工厂和开发区A处的自来水厂正好在一个矩形的四个顶点上，它们之间有公路相通，且AB＝CD＝900米，AD＝BC＝1700米．自来水公司已经修好一条自来水主管道AN，B，C两厂之间的公路与自来水主管道交于E处，EC＝500米．若自来水主管道到各工厂的自来水管道由各厂负责修建，每米造价800元．图1321(1)要使修建自来水管道的造价最低，这三个工厂的自来水管道路线应怎样设计？并在图中画出该路线；(2)求出各厂所修建的自来水管道的最低造价各是多少元？【解】(1)如图，过B，C，D分别作AN的垂线段BH，CF，DG交AN于H，F，G，BH，CF，DG即为所求的造价最低的管道路线．(2)在Rt△ABE中，AB＝900米，BE＝1700－500＝1200米，∴AE＝＝1500(米)，由△ABE∽△CFE，得到＝，即＝，可得CF＝300(米)．由△BHE∽△CFE，得＝，即＝，可得BH＝720(米)．由△ABE∽△DGA，得＝，即＝，可得DG＝1020(米)．所以，B，C，D三厂所建自来水管道的最低造价分别是720×800＝576000(元)，300×800＝240000(元)，1020×800＝816000(元)．[能力提升]1.如图1322所示，要使△ACD∽△BCA，下列各式中必须成立的是()图1322A.＝B.＝C．AC2＝CD·CBD．CD2＝AC·AB【解析】∠C＝∠C，只有＝，即AC2＝CD·CB时，才能使△ACD∽△BCA.【答案】C2．如图1323所示，∠AOD＝90°，OA＝OB＝BC＝CD，则下列结论正确的是()图1323A．△DAB∽△OCAB...
