1.5.1全称量词与存在量词课堂检测·素养达标1.下列命题是全称量词命题的是()A.有的三角形是等边三角形B.所有2的倍数都是偶数C.有一个实数,使|x|≤0D.至少有一个x∈{x|x是无理数},x2是无理数【解析】选B.对于A、C、D中,分别含有存在量词“有的”“有一个”“至少有一个”,所以A、C、D都是存在量词命题,B中含有全称量词“所有”,所以B是全称量词命题.2.下列命题中是真命题的是()A.∃x∈R,x2+1<0B.∃x∈Z,3x+1是整数C.∀x∈R,|x|>3D.∀x∈Q,x2∈Z【解析】选B.A是假命题.因为∀x∈R,x2+1≥1;B是真命题.当x=1时,3x+1=4是整数;C是假命题.如x=2,|x|<3;D是假命题.如x=,x2∉Z.3.下列命题中,是全称量词命题的有________,是存在量词命题的有________.(填序号)①有的集合的真子集个数为0;②所有有两个角是60°的三角形是等边三角形;③任意一个集合与空集的交集都是空集;④至少有一个无理数的平方是有理数;⑤所有正数都是实数吗?【解析】①④为存在量词命题,②③为全称量词命题,而⑤不是命题.答案:②③①④4.命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是______________(填全称量词命题或存在量词命题),用符号表示为______________.【解析】命题“存在实数x,y,使得x+y>1”是存在量词命题,用符号表示为∃x,y∈R,x+y>1.答案:存在量词命题∃x,y∈R,x+y>1【新情境·新思维】用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题,并判断真假.(1)不等式x2-x+≥0对一切实数x都成立.(2)存在实数x,使得=.【解析】(1)∀x∈R,x2-x+≥0恒成立.x2-x+=≥0,故该命题为真命题.(2)∃x∈R,使得=.因为x2-2x+3=(x-1)2+2≥2,所以≤<.故该命题是假命题.
