第二课时函数奇偶性的应用(习题课)【选题明细表】知识点、方法题号利用奇偶性求函数值2,3,6,7利用奇偶性求解析式5,8奇偶性与单调性的综合应用1,4,9,10,11,12,131.(2018·山东省菏泽市十三校高一期中)下列函数中,是偶函数,且在区间(0,1)上为增函数的是(A)(A)y=|x|(B)y=1-x(C)y=(D)y=-x2+4解析:选项B中,函数不具备奇偶性;选项C中,函数是奇函数;选项A,D中的函数是偶函数,但函数y=-x2+4在区间(0,1)上单调递减.故选A.2.奇函数f(x)在(-∞,0)上的解析式为f(x)=x(1+x),则f(x)在(0,+∞)上有(B)(A)最大值-(B)最大值(C)最小值-(D)最小值解析:法一当x<0时,f(x)=x2+x=(x+)2-,所以f(x)有最小值-,因为f(x)是奇函数,所以当x>0时,f(x)有最大值.法二当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-x(1-x).又f(-x)=-f(x),所以f(x)=x(1-x)=-x2+x=-(x-)2+,所以f(x)有最大值.故选B.3.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为(A)(A)4(B)0(C)2m(D)-m+4解析:由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,得a·57-b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.故选A.4.定义在R上的偶函数f(x)满足:对任意x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2),都有(x2-x1)·[f(x2)-f(x1)]>0,则(C)(A)f(-2)0,故f(x)在x1,x2∈(-∞,0](x1≠x2)上单调递增.又因为f(x)是偶函数,所以f(x)在[0,+∞)上单调递减,且满足n∈N*时,f(-2)=f(2),由3>2>1>0,得f(3)0,则f(-x)=x2+2x=-f(x),所以f(x)=-x(x+2),故选A.6.若奇函数f(x)当1≤x≤4时的解析式是f(x)=x2-4x+5,则当-4≤x≤-1时,f(x)的最大值是(D)(A)5(B)-5(C)-2(D)-1解析:当-4≤x≤-1时,1≤-x≤4,因为1≤x≤4时,f(x)=x2-4x+5.所以f(-x)=x2+4x+5,又f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x).所以f(x)=-x2-4x-5=-(x+2)2-1(-4≤x≤-1).当x=-2时,取最大值-1.7.(2018·洛阳高一月考)若函数f(x)=为奇函数,则f(g(-1))=.解析:根据题意,当x<0时,f(x)=g(x),f(x)为奇函数,g(-1)=f(-1)=-f(1)=-(12+2×1)=-3,则f(g(-1))=f(-3)=-f(3)=-(32+2×3)=-15.答案:-158.已知定义在R上的奇函数f(x),当x>0时,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0时,f(x)=.解析:由题意,当x>0时,f(x)=x2+|x|-1=x2+x-1,当x<0时,-x>0,所以f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,又因为f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-x-1,即f(x)=-x2+x+1.答案:-x2+x+19.f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且f(x)在[0,2]上单调递减,若f(1-m)f(-3)(B)f(π)f(-3.14)>f(-3)(D)f(π)f(|-3.14|)>f(π),所以f(π)1时,f(x)<0.因为奇函数图象关于原点对称,所以在(-∞,0)上f(x)为减函数且f(-1)=0,即x<-1时,f(x)>0.综上使<0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)12.已知y=f(x)是定义在(-∞,+∞)上的奇函数,且在[0,+∞)上为增函数,(1)求证:函数在(-∞,0]上也是增函数;(2)如果f()=1,解不等式-1-x2,Δx=x2-x1>0,Δy=f(x2)-f(x1).因为f(x)是奇函数,且在[0,+∞)上是增函数,-x1>-x2,所以f(-x1)>f(-x2).又因为f(x)为奇函数,所以f(-x1)=-f(x1),f(-x2)=-f(x2).所以-f(x1)>-f(x2),即f(x1)0.所以函数f(x)在(-∞,0]上也是增函数.(2)解:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0,f(-)=-f()=-1.由-10.(1)若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小关系;(2)若f(1+m)+f(3-2m)≥0,求实数m的取值范围.解:(1)因为a>b,所以a-b>0,由题意得>0,所以f(a)+f(-b)>0.又f(x)是定义在R上的奇函数,所以f(-b)=-f(b),所以f(a)-f(b)>0,即f(a)>f(b).(2)由(1)知f(x)为R上的单调递增函数,因为f(1+m)+f(3-2m)≥0,所以f(1+m)≥-f(3-2m),即f(1+m)≥f(2m-3),所以1+m≥2m-3,所以m≤4.所以实数m的取值范围为(-∞,4].
