第二课时函数奇偶性的应用(习题课)选题明细表知识点、方法题号利用奇偶性求函数值3,7,8利用奇偶性求解析式6,13抽象函数的奇偶性9,11奇偶性与单调性的综合应用1,2,4,5,10,12,14基础巩固1.下列函数中,既是偶函数,又在区间(0,+∞)上单调递减的函数为(C)(A)y=(B)y=x2+1(C)y=(D)y=x解析:选项A,D中的函数是奇函数,选项B,C中的函数是偶函数,但函数y=x2+1在(0,+∞)上单调递增.故选C.2.若函数f(x)是R上的偶函数,且在区间[0,+∞)上是增函数,则下列关系成立的是(B)(A)f(-3)>f(0)>f(1)(B)f(-3)>f(1)>f(0)(C)f(1)>f(0)>f(-3)(D)f(1)>f(-3)>f(0)解析:因为f(-3)=f(3),且f(x)在区间[0,+∞)上是增函数,所以f(-3)>f(1)>f(0).3.(2019·辽宁六校协作体高一期中)f(x)是定义域为R的奇函数,且x>0时,f(x)=x2-3x+6,f(-2)+f(0)等于(B)(A)4(B)-4(C)10(D)-10解析:因为f(x)是R上的奇函数,所以f(0)=0.又f(-2)=-f(2)=-(4-6+6)=-4.故f(-2)+f(0)=-4.选B.4.已知函数f(x)是定义在(-2,2)上的奇函数且为减函数,若f(m-1)+f(1-2m)>0,则实数m的取值范围为(C)(A)m>0(B)-10.所以f(m-1)>-f(1-2m)=f(2m-1).由题意知所以所以00,则在区间[a,b]上(D)(A)f(x)>0且|f(x)|单调递减(B)f(x)>0且|f(x)|单调递增(C)f(x)<0且|f(x)|单调递减(D)f(x)<0且|f(x)|单调递增解析:因为f(x)是奇函数,所以其图象关于原点对称.又f(x)在[-b,-a]上单调递减且f(x)>0,所以f(x)在[a,b]上单调递减,且f(x)<0.因为y=|f(x)|与y=f(x)的图象关于x轴对称,所以y=|f(x)|在[a,b]上单调递增.11.若y=f(x)(x∈R)是奇函数且是减函数,则F(x)=f(f(x))在R上是(B)(A)减函数、奇函数(B)增函数、奇函数(C)减函数、偶函数(D)增函数、偶函数解析:因为F(-x)=f(f(-x))=f(-f(x))=-f(f(x))=-F(x),所以F(x)是奇函数.设x1f(x2),又由f(x)是减函数知,f(f(x1))0的解集为.解析:法一因为f(x)在(0,+∞)上是增函数且是奇函数,f(1)=0,所以f(x)在(-∞,0)上是增函数,f(-1)=0.当x>0时,f(x)>0,即f(x)>f(1),所以x>1.当x<0时,f(x)<0,即f(x)0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).法二依题意作出函数y=f(x)的大致图象如图所示.由图象易知,xf(x)>0的解集为(-∞,-1)∪(1,+∞).答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)13.已知y=f(x)是定义在R上的奇函数,当x≤0时,f(x)=2x+x2.(1)当x>0时,求f(x)的解析式;(2)若关于x的方程f(x)=2m+1有三个不相等的实根,求m的取值范围.解:(1)当x>0时,-x<0,所以f(-x)=-2x+x2,又f(x)是奇函数,所以f(x)=-f(-x)=2x-x2.所以当x>0时,f(x)=2x-x2.(2)f(x)=作出f(x)的函数图象如图所示:因为关于x的方程f(x)=2m+1有三个不相等的实根,所以-1<2m+1<1,解得-1f()>f(1)>f()成立.故选D.
