第14课时函数奇偶性的应用提能达标过关一、选择题1．偶函数y＝f(x)在区间[0,4]上单调递减，则有()A．f(－1)>f>f(－π)B．f>f(－1)>f(－π)C．f(－π)>f(－1)>fD．f(－1)>f(－π)>f解析：选A∵f(x)是偶函数，∴f(－1)＝f(1)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0,4]上单调递减，∴f(1)>f>f(π)．∴f(－1)>f>f(－π)．故选A．2．已知y＝f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，则实数a的值为()A．5B．1C．－1D．－3解析：选A∵f(x)是奇函数，当x<0时，f(x)＝x2＋ax，且f(3)＝6，∴f(－3)＝－f(3)＝－6，即f(－3)＝9－3a＝－6，∴3a＝15，解得a＝5，故选A．3．奇函数f(x)在(－∞，0)上的解析式为f(x)＝x(1＋x)，则f(x)在(0，＋∞)上有()A．最大值－B．最大值C．最小值－D．最小值解析：选B解法一：当x<0时f(x)＝x2＋x＝2－，∴f(x)有最小值－，∵f(x)是奇函数，∴f(x)的图象关于原点对称，∴当x>0时，f(x)有最大值.解法二：当x>0时，－x<0，∴f(－x)＝－x(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)＝－x2＋x＝－2＋，∴f(x)有最大值.故选B．4．已知f(x)是定义在R上的偶函数，在(0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为()A．(0,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，－2)∪(0,2)D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选C由题可得f(x)的图象如图所示．不等式xf(x)>0可化为或∴0
1D．a>3解析：选B由题意得f(2－a)＋f(4－a)<0⇒f(2－a)<－f(4－a)⇒f(2－a)a－4⇒a<3.故选B．二、填空题6．若函数f(x)＝为奇函数，则实数a＝________.解析：解法一：∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)对定义域内任意x都成立，∴＋＝0对定义域内任意x恒成立，即＝0对定义域内任意x恒成立，∴解得a＝1.解法二：由x＋a2－1≠0解得x≠1－a2.∴f(x)的定义域为{x∈R|x≠1－a2}．∵f(x)是奇函数，∴f(x)的定义域关于原点对称．∴1－a2＝0，解得a＝±1.若a＝1，则f(x)＝，符合题意；若a＝－1，则f(x)＝，不合题意．于是a＝1.答案：17．定义在R上的奇函数f(x)在区间[3,6]上是增函数，在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则2f(－6)＋f(－3)＝________.解析：依题意有2f(－6)＋f(－3)＝－2f(6)－f(3)＝－2×8－(－1)＝－15.答案：－158．已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x2－4x，则当x<0时，f(x)的解析式是________，在定义域内满足f(x)>0的x的取值范围是________．解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝x2＋4x，∵f(x)是奇函数，∴f(x)＝－f(－x)＝－x2－4x.当x>0时，由x2－4x>0，得x>4；当x<0时，由－x2－4x>0，得－40的x的取值范围是(－4,0)∪(4，＋∞)．答案：f(x)＝－x2－4x(－4,0)∪(4，＋∞)三、解答题9．已知函数f(x)＝x＋，且f(1)＝2.(1)求k的值，并判断f(x)的奇偶性；(2)判断函数f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(a)>2，求实数a的取值范围．解：(1)∵f(1)＝1＋k＝2，∴k＝1.∴f(x)＝x＋.∵f(x)的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，又f(－x)＝－x＋＝－＝－f(x)，∴f(x)是奇函数．(2)f(x)在(－∞，－1]上是增函数，在[－1,0)上是减函数，在(0,1]上是减函数，在[1，＋∞)上是增函数．下面证明f(x)在[1，＋∞)上是增函数．设x1，x2是[1，＋∞)上任意两个实数，且x10，x1x2－1>0，∴f(x1)－f(x2)<0，∴f(x1)2＝f(1)可得，01.∴实数a的取值范围是(0,1)∪(1，＋∞)．10．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)＝x2＋2x.(1)写出函数f(x)(x∈R)的解析式；(2)若函数g(x)＝f(x)－2ax＋2(x∈[1,2])，求函数g(x)的最小值．解：(1)依题意，当x>0时，f(x)＝f(－x)＝(－x)2＋2(－x)＝x2－2x，∴f(x)＝(2)g(x)＝x2－2x－2ax＋2，对称轴方程为x＝a＋1，当a＋1≤1，即a≤0时，g(1)＝1－2a为最小值；当12，即a>1时，g(2)＝2－4a为最小值．综上，g(x)min＝
