1.3.2奇偶性第一课时函数奇偶性的定义与判定1.设f(x)是定义在R上的偶函数,下列结论中正确的是(B)(A)f(-x)+f(x)=0(B)f(-x)-f(x)=0(C)f(x)·f(-x)<0(D)f(0)=0解析:由偶函数的定义知f(-x)=f(x),所以f(-x)-f(x)=0,f(-x)+f(x)=0不一定成立.f(-x)·f(x)=[f(x)]2≥0,f(0)=0不一定成立.故选B.2.下列图象表示的函数具有奇偶性的是(B)解析:选项A中的图象不关于原点对称,也不关于y轴对称,故排除;选项C,D中函数的定义域不关于原点对称,也排除.选项B中的函数图象关于y轴对称,是偶函数,故选B.3.下列函数中既是奇函数又是偶函数的是(A)(A)f(x)=-(B)f(x)=+(C)f(x)=(D)f(x)=解析:选项A中定义域为{-1,1},函数解析式为f(x)=0,所以函数既是奇函数又是偶函数,选项B为偶函数,选项C为偶函数,选项D为非奇非偶函数,故选A.4.已知f(x)=ax2+bx+1是定义在[-2a,a2-3]上的偶函数,那么a+b的值是(A)(A)3(B)-1(C)-1或3(D)1解析:由题f(x)=ax2+bx+1是定义在[-2a,a2-3]上的偶函数,所以f(x)=f(-x),所以b=0,又-2a=-(a2-3)且-2a
0时,y=x·|x|=x2.故选C.7.若y=f(x)(x∈R)是奇函数,则下列坐标表示的点一定在y=f(x)图象上的是(B)(A)(a,-f(a))(B)(-a,-f(a))(C)(-a,-f(-a))(D)(a,f(-a))解析:因为f(x)为奇函数,所以f(-a)=-f(a),所以点(-a,-f(a))在函数y=f(x)图象上.故选B.8.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)等于(A)(A)-26(B)-18(C)-10(D)10解析:令g(x)=x5+ax3+bx,则g(-x)=-g(x),所以g(x)为奇函数.又因为f(x)=g(x)-8,所以f(-2)=g(-2)-8=10g(-2)=18.⇒所以g(2)=-18.所以f(2)=g(2)-8=-18-8=-26.故选A.9.设f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2+1,则f(-2)+f(0)=.解析:由题意知f(-2)=-f(2)=-(22+1)=-5,f(0)=0,所以f(-2)+f(0)=-5.答案:-510.已知函数f(x)为偶函数,且当x<0时,f(x)=x+1,则当x>0时,f(x)=.解析:当x>0时,f(x)=f(-x)=-x+1.答案:-x+111.已知函数f(x)=是奇函数,则实数b=.解析:法一(定义法)因为f(x)为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=-,整理得=-,所以-x+b=-(x+b),即2b=0,解得b=0.法二(赋值法)因为f(x)为奇函数,所以f(-1)=-f(1),即=-,即=-,解得b=0.法三(赋值法)因为f(x)为奇函数,且函数的定义域为R,所以f(0)=0,即=0,解得b=0.答案:012.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,则f(-1)=.解析:令y=g(x)=f(x)+x2,因为此函数是奇函数,所以g(-1)=-g(1),即f(-1)+(-1)2=-[f(1)+12],所以f(-1)=-3.答案:-313.判断下列函数的奇偶性:(1)f(x)=+x2,x∈(-1,0)∪(0,1];(2)f(x)=.解:(1)因为函数f(x)的定义域为(-1,0)∪(0,1],不关于原点对称,故此函数为非奇非偶函数.(2)由1-x2≥0,得-1≤x≤1,又因为|x+2|-2≠0,所以x≠0,所以-1≤x≤1且x≠0,所以定义域关于原点对称,且x+2>0,所以f(x)==,因为f(-x)==-=-f(x),所以f(x)为奇函数.14.已知函数f(x)=+1.(1)证明:函数f(x)在(1,+∞)上递减;(2)记函数g(x)=f(x+1)-1,判断函数g(x)的奇偶性,并加以证明.(1)证明:设x1>x2>1,则x2-x1<0,x1-1>0,x2-1>0,f(x1)-f(x2)=-=<0,所以f(x1)
