第二课时函数的最大(小)值1.函数f(x)的部分图象如图所示,则此函数在[-2,2]上的最小值、最大值分别是(C)(A)-1,3(B)0,2(C)-1,2(D)3,2解析:当x∈[-2,2]时,由题图可知,x=-2时,f(x)的最小值为f(-2)=-1;x=1时,f(x)的最大值为2.故选C.2.函数f(x)=x2-2x-3在区间[-2,4]上的最大值和最小值分别为(A)(A)5,-4(B)3,-7(C)无最大值(D)7,-4解析:f(x)=(x-1)2-4的图象开口向上,对称轴为直线x=1,函数f(x)在区间[-2,1]上单调递减,在区间[1,4]上单调递增,所以函数的最小值为f(1)=-4.又因为f(-2)=5,f(4)=5,所以函数的最大值为f(-2)=f(4)=5.故选A.3.下列函数在[1,4]上最大值为3的是(A)(A)y=+2(B)y=3x-2(C)y=x2(D)y=1-x解析:选项B,C在[1,4]上均为增函数,选项A,D在[1,4]上均为减函数,代入端点值,即可求得最值,故选A.4.函数y=ax+1在[1,2]上的最大值与最小值之差为2,则实数a的值是(C)(A)2(B)-2(C)2或-2(D)0解析:当a>0时,y=ax+1在[1,2]上是增函数.最大值为2a+1,最小值为a+1,因此2a+1-(a+1)=2.故a=2.当a<0时,y=ax+1在[1,2]上是减函数.最大值为a+1,最小值为2a+1.因此a+1-(2a+1)=2.故a=-2.综上知,选C.5.已知函数f(x)=,x∈[-8,-4),则下列说法正确的是(A)(A)f(x)有最大值,无最小值(B)f(x)有最大值,最小值(C)f(x)有最大值,无最小值(D)f(x)有最大值2,最小值解析:f(x)==2+,它在[-8,-4)上单调递减,因此有最大值f(-8)=,无最小值.故选A.6.已知函数f(x)=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f(x)有最小值-2,则f(x)的最大值为(A)(A)1(B)0(C)-1(D)2解析:f(x)=-x2+4x+a在[0,1]上为增函数,最小值为f(0)=-2,所以a=-2,其最大值f(1)=3+a=1.故选A.7.函数f(x)=则f(x)的最大值与最小值分别为(A)(A)10,6(B)10,8(C)8,6(D)以上都不对解析:因为x∈[1,2]时,f(x)max=2×2+6=10,f(x)min=2×1+6=8;x∈[-1,1]时,f(x)max=1+7=8,f(x)min=-1+7=6,所以f(x)max=10,f(x)min=6.故选A.8.函数y=+的最小值为(B)(A)1(B)(C)2(D)0解析:函数的定义域为[1,+∞),又函数为增函数,故当x=1时,函数的最小值为.9.函数f(x)=在区间[2,4]上值域为.解析:因为函数在[2,4]上是减函数,所以x=4,ymin=,x=2,ymax=2.答案:[,2]10.已知函数f(x)=2x-3,其中x∈{x∈N|1≤x≤},则函数的最大值为.解析:函数f(x)=2x-3为增函数,且x∈{1,2,3},函数自变量x的最大值为3,所以函数的最大值为f(3)=3.答案:311.函数f(x)=的最大值为.解析:当x≥1时,函数f(x)=为减函数,所以在x=1处取得最大值,为f(1)=1;当x<1时,易知函数f(x)=-x2+2在x=0处取得最大值,为f(0)=2.故函数f(x)的最大值为2.答案:212.已知函数f(x)=ax2-2ax+3-b(a>0)在区间[1,3]上有最大值5和最小值2,则a+b=.解析:依题意,f(x)的对称轴为x=1,函数f(x)在[1,3]上是增函数.故当x=3时,该函数取得最大值,即f(x)max=f(3)=5,3a-b+3=5,当x=1时,该函数取得最小值,即f(x)min=f(1)=2,即-a-b+3=2,所以联立方程得解得a=,b=.因此a+b=1.答案:113.已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.解:(1)当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[-5,5],当x=1时,有f(x)min=1,当x=-5时,有f(x)max=37.(2)因为函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a,f(x)在区间[-5,5]上是单调函数,所以-a≤-5或-a≥5,即a≥5或a≤-5.即a的取值范围为(-∞,-5]∪[5,+∞).14.已知函数f(x)=-(a>0).(1)证明f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)若f(x)的定义域、值域都是[,2],求实数a的值.(1)证明:设x2>x1>0,则f(x2)-f(x1)=(-)-(-)=-=.因为x2>x1>0,所以x2-x1>0,x1x2>0,所以>0,即f(x2)>f(x1),所以f(x)在(0,+∞)上单调递增.(2)解:因为f(x)在(0,+∞)上单调递增,且定义域和值域均为[,2],所以解得a=.15.已知函数f(x)=|x|(x+1),试画出函数f(x)的图象,并根据图象解决下列两个问题.(1)写出函数f(x)的单调区间;(2)求函数f(x)在区间[-1,]上的最大值.解:f(x)=|x|(x+1)=的图象如图所示.(1)f(x)在(-∞,-]和[0,+∞)上是增函数,在[-,0]上是减函数,因此f(x)的单调递增区间为(-∞,-],[0,+∞);单调递减区间为[-,0].(2)因为f(-)=,f()=,所以f(x)在区间[-1,]上的最大值为.16.当0≤x≤2时,a<-x2+2x恒成立,则实数a的取值范围是(C)(A)(-∞,1](B)(-∞,0](C)(-...
