1.2点、线、面之间的位置关系1.2.3第2课时平面与平面垂直一、选择题1．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，给出下列四个命题：①α∥β，l⊄β⇒l⊥m②α⊥β⇒l∥m③l∥m⇒α⊥β④l⊥m⇒α∥β其中正确的两个命题是()A．①②B．③④C．②④D．①③[答案]D[解析]⇒l⊥m，故①对；⇒l∥β或l⊂β，又m是β内的一条直线，故l∥m不对；⇒α⊥β，∴③对；⇒m⊂α或m∥α，无论哪种情况与m⊂β结合都不能得出α∥β，∴选D．2．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成三棱锥A－BCD，则在三棱锥A－BCD中，下列命题正确的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC[答案]D[解析]由题意知，在四边形ABCD中，CD⊥BD，在三棱锥A－BCD中，平面ABD⊥平面BCD，两平面的交线为BD，所以CD⊥平面ABD，因此有AB⊥CD，又因为AB⊥AD，且CD∩AD＝D，所以AB⊥平面ADC，于是得到平面ADC⊥平面ABC，故选D．3．若有直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是()A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥βC．若α⊥β，m⊂α，则m⊥βD．若α⊥β，m⊥β，m⊄α，则m∥α[答案]D[解析]如图(1)，β∥α，m⊂β，n⊂β，有m∥α，n∥α，但m与n可以相交，故A错；如图(2)，m∥n∥l，α∩β＝l，有m∥β，n∥β，故B错；如图(3)，α⊥β，α∩β＝l，m⊂α，m∥l，故C错．故选D．点评：D选项证明如下：α⊥β设交线为l，在α内作n⊥l，则n⊥β， m⊥β，∴m∥n， n⊂α，m⊄α，∴m∥α．4．若平面α⊥平面β，且平面α内的一条直线a垂直于平面β内的一条直线b，则()A．直线a必垂直于平面βB．直线b必垂直于平面αC．直线a不一定垂直于平面βD．过a的平面与过b的平面垂直[答案]C[解析]α⊥β，a⊂α，b⊂β，a⊥b，当α∩β＝a时，b⊥α；当α∩β＝b时，a⊥β，其他情形则未必有b⊥α或a⊥β，所以选项A、B、D都错误，故选C．二、填空题5．Rt△ABC所在平面α外一点P到直角顶点的距离为24，到两直角边的距离都是6，那么点P到平面α的距离等于__________.[答案]12[解析]作PO⊥平面α，作OE⊥AC，OF⊥AB，则AC⊥平面POE，AB⊥平面POF，∴PE＝PF＝6，从而OE＝OF，∴∠EAO＝∠FAO＝45°，在Rt△PAE中，PA＝24，PE＝6，∴AE2＝PA2－PE2＝216，又在Rt△OEA中，OE＝AE，∴在Rt△POE中，PO＝＝＝＝12．6．长方体ABCD－A1B1C1D1中，MN在平面BCC1B1内，MN⊥BC于M，则MN与AB的位置关系为____________________.[答案]MN⊥AB[解析]如图所示，由长方体的性质知，平面BCC1B1⊥平面ABCD，交线为BC. MN在平面BCC1B1内，且MN⊥BC，∴MN⊥平面ABCD，而AB⊂平面ABCD，∴MN⊥AB．三、解答题7．如图所示，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的面对角线A1B⊥B1C，求证B1C⊥C1A.[解析]如图所示，连接A1C，交AC1于点D，则点D是A1C的中点．取BC的中点N，连接AN、DN，则DN∥A1B．又A1B⊥B1C，∴B1C⊥DN．又△ABC是正三角形，∴AN⊥BC．又平面ABC⊥平面BB1C1C，平面ABCD∩平面BB1C1C＝BC，AN⊂平面ABC，∴AN⊥平面BB1C1C.又B1C⊂平面BB1C1C，∴B1C⊥AN．又AN⊂平面AND，DN⊂平面AND，AN∩DN＝N，∴B1C⊥平面AND．又C1A⊂平面AND，∴B1C⊥AC1．8．如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AB，点E为PB的中点.求证：(1)PD∥平面ACE；(2)平面ACE⊥平面PBC．[解析](1)连接BD交AC于点O，连接OE，∴O为BD的中点．又E为PB的中点，∴OE∥PD.又OE⊂平面ACE，PD⊄平面ACE，∴PD∥平面ACE．(2) PA＝AB，E为PB的中点，∴AE⊥PB． PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，又 BC⊥AB，PA∩AB＝A，∴BC⊥平面PAB．又AE⊂平面PAB，∴BC⊥AE，又PB∩BC＝B，∴AE⊥平面PBC．又AE⊂平面ACE，∴平面ACE⊥平面PBC.一、选择题1．(2016·浙江文，2)已知互相垂直的平面α、β交于直线l.若直线m、n满足m∥α，n⊥β，则()A．m∥lB．m∥nC．n⊥lD．m⊥n[答案]C[解析]选项A，只有当m∥β或m⊂β时，m∥l；选项B，只有当m⊥β时，m∥n；选项C，由于l⊂β，∴n⊥l；选项D，只有当m∥β或m⊂β时，m⊥n，故选C．2．已...
