课时分层作业(六)平面向量基本定理(建议用时：40分钟)一、选择题1．设O是平行四边形ABCD的两条对角线AC与BD的交点，有下列向量组：①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.其中可作为这个平行四边形所在平面内其他所有向量的基底的是()A．①④B．②③C．①③D．②④C[如图所示，AD与AB为不共线向量，可以作为基底.CA与DC为不共线向量，可以作为基底.DA与BC，OD与OB均为共线向量，不能作为基底．]2．已知向量a＝e1－2e2，b＝2e1＋e2，其中e1，e2不共线，则a＋b与c＝6e1－2e2的关系是()A．不共线B．共线C．相等D．不确定B[a＋b＝3e1－e2，所以c＝2(a＋b)，所以a＋b与c共线．]3．若e1，e2是表示平面所有向量的一组基底，且a＝3e1－4e2，b＝6e1＋ke2不能作为一组基底，则k的值为()A．－2B．－4C．－6D．－8D[易知a∥b，故设3e1－4e2＝λ(6e1＋ke2)，∴∴k＝－8.]4．设e1，e2是不共线向量，e1＋2e2与me1＋ne2共线，则＝()A．B．2C．D．4B[由e1＋2e2＝λ(me1＋ne2)，得mλ＝1且nλ＝2，∴＝2.]5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λCB，则λ＝()A．B．C．D．A[∵AD＝2DB，∴CD＝CA＋AD＝CA＋AB＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB.又∵CD＝CA＋λCB，∴λ＝.]二、填空题6．(一题两空)如图，在正方形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BD＝c，则在以a，b为基底时，AC可表示为________，在以a，c为基底时，AC可表示为________．a＋b2a＋c[由平行四边形法则可知，AC＝AB＋AD＝a＋b，以a，c为基底时将BD平移，使B与A重合，再由三角形法则或平行四边形法则即得．]7．已知e1，e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作为平面内的一组基底，则实数λ的取值范围为________．(－∞，4)∪(4，＋∞)[若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线．a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，由a≠kb，即得λ≠4.]8．如图，在△ABC中，BC＝a，CA＝b，AB＝c，三边BC，CA，AB的中点依次为D，E，f，则AD＋BE＋CF＝________.0[原式＝(AB＋AC)＋(BA＋BC)＋(CB＋CA)＝0.]三、解答题9．如图，在▱ABCD中，AB＝a，AD＝b，E，f分别是AB，BC的中点，G点使DG＝DC，试以a，b为基底表示向量AF与EG.[解]AF＝AB＋BF＝AB＋BC＝AB＋AD＝a＋b.EG＝EA＋AD＋DG＝－AB＋AD＋DC＝－a＋b＋a＝－a＋b.10．设e1，e2为两个不共线的向量，a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1＋12e2，试用b，c为基底表示向量a.[解]设a＝λ1b＋λ2c，λ1，λ2∈R，则－e1＋3e2＝λ1(4e1＋2e2)＋λ2(－3e1＋12e2)，即－e1＋3e2＝(4λ1－3λ2)e1＋(2λ1＋12λ2)e2，∴∴∴a＝－b＋c.1．(多选题)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()A．e1＋e2和e1－e2B．3e1－4e2和6e1－8e2C．e1＋2e2和2e1＋e2D．e1和e1＋e2ACD[B中，∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)，∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作为基底．故选ACD．]2．点M是△ABC所在平面内的一点，且满足AM＝AB＋AC，则△ABM与△ABC的面积之比为()A．B．C．D．B[如图，分别在AB，AC上取点E，f，使AE＝AB，AF＝AC，在BC上取点G，使BG＝BC，则EG∥AC，fG∥AE，∴AG＝AE＋AF＝AM，∴M与G重合，∴＝＝.]3．如图，在△ABC中，AN＝NC，P是BN上的一点，若AP＝mAB＋AC，则实数m的值为________．[设NP＝λNB，NP＝AP－AN＝mAB＋AC－AC＝mAB－AC，λNB＝λ(AB－AN)＝λAB－AC，∴∴m＝λ＝.]4．已知e1与e2不共线，a＝e1＋2e2，b＝λe1＋e2，且a与b是一组基底，则实数λ的取值范围是________．∪[当a∥b时，设a＝mb，则有e1＋2e2＝m(λe1＋e2)，即e1＋2e2＝mλe1＋me2，所以解得λ＝，即当λ＝时，a∥b.又a与b是一组基底，所以a与b不共线，所以λ≠.]5．设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2.(1)证明：a，b可以作为一组基底；(2)以a，b为基底，求向量c＝3e1－e2的分解式；(3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值．[解](1)证明：若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2)．由e1，e2不共线，得⇒∴λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底．(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，则3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2)＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2.∴⇒∴c＝2a＋b.(3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2)＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2.∴⇒故所求λ，μ的值分别为3和1.
