课时分层作业(三)向量的减法(建议用时：40分钟)一、选择题1．化简下列向量式，结果为0的个数是()①RS－RT＋ST；②BD＋DC＋AB－AC；③AB－AC－CB；④AB＋BC－AC.A．1B．2C．3D．4D[①RS－RT＋ST＝0；②BD＋DC＋AB－AC＝BC＋CB＝0；③AB－AC－CB＝AB－(AC＋CB)＝0；④AB＋BC－AC＝0.]2．如图所示，在正方形ABCD中，已知AB＝a，BC＝b，OD＝c，则图中能表示a－b＋c的向量是()A．OAB．OBC．OCD．ODB[由已知得，a－b＝AB－AD＝DB，c＝OD，∴a－b＋c＝DB＋OD＝OB.]3．如图，已知ABCDEf是一正六边形，O是它的中心，其中OB＝b，OC＝c，则EF等于()A．b－cB．b＋cC．－b－cD．－b＋cA[EF＝OA＝CB＝OB－OC＝b－c.]4．设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，|BC|＝4，|AB＋AC|＝|AB－AC|，则|AM|＝()A．2B．4C．16D．8A[因为|AB＋AC|＝|AB－AC|，又点A在直线BC外，故四边形ABDC是以AB，AC为邻边的平行四边形且对角线相等，故ABDC为矩形，|AM|＝|BC|＝2.]5．如图，D，E，f分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列各式正确的是()A．AD＋BE＋CF＝0B．BD－CE＋DF＝0C．AD＋CE－CF＝0D．BD－BE－FC＝0A[A项，AD＋BE＋CF＝DB＋BE＋CF＝DE＋CF＝DE＋ED＝0；B项，BD－CE＋DF＝(BD＋DF)－CE＝BF－CE≠0；C项，AD＋CE－CF＝AD＋(CE－CF)＝AD＋FE≠0；D项，BD－BE－FC＝(BD－BE)－FC＝ED－FC＝ED＋CF≠0.]二、填空题6．已知两向量a和b，如果a的方向与b的方向垂直，那么|a＋b|________|a－b|.(填写“＝”“≤”或“≥”)＝[以a，b为邻边的平行四边形是矩形，矩形的对角线相等．由加减法的几何意义知|a＋b|＝|a－b|.]7．已知|a|＝7，|b|＝2，若a∥b，则|a－b|＝________.5或9[∵a∥b，当a与b同向时，|a－b|＝|7－2|＝5，当a与b反向时，|a－b|＝|7＋2|＝9.]8．如图，在平行四边形ABCD中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，试用a，b，c表示OD，则OD＝________.a＋c－b[因为OA＝a，OB＝b，OC＝c，所以BC＝OC－OB＝c－b，又AD＝BC，所以OD＝OA＋AD＝a＋c－b.]三、解答题9．化简：(1)MN－MP＋NQ－PQ；(2)BD＋DC＋AB－AC.[解](1)MN－MP＋NQ－PQ＝(MN＋NQ)－(MP＋PQ)＝MQ－MQ＝0.(2)BD＋DC＋AB－AC＝(BD＋DC)＋(AB－AC)＝BC＋CB＝0.10．如图所示，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作出下列向量，并分别求出其长度：(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.[解](1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC＝c，所以延长AC到E，使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2.所以|a＋b＋c|＝2.(2)作BF＝AC，连接BD，Cf，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－b，所以a－b＋c＝DB＋BF＝DF，且|DF|＝2，所以|a－b＋c|＝2.1．边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为()A．2B．C．D．1B[如图所示，|AB－BC|＝|AB＋BC′|＝|AC′|，又|AB|＝1，|BC′|＝1，∠ABC′＝120°，∴在△ABC′中，|AC′|＝.]2.(多选题)设a，b是非零向量，则下列不等式中恒成立的是()A．|a＋b|≤|a|＋|b|B．|a|－|b|≤|a＋b|C．|a|－|b|≤|a|＋|b|D．|a|≤|a＋b|ABC[由向量模的不等关系可得：||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|；|a＋b|≤|a|＋|b|，故A恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|，故B恒成立；||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，故C恒成立．令a＝－b，|a|＝2，则|a＋b|＝0，则D不成立．故选ABC．]3．已知非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则＝________.[如图，设OA＝a，OB＝b，OC＝a＋b，则BA＝OA－OB＝a－b，∵|a|＝|b|＝|a－b|，∴BA＝OA＝OB．∴△OAB为正三角形，设其边长为1,则|a－b|＝|BA|＝1，|a＋b|＝2×＝.∴＝＝.]4．如图，D，E，f分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，则AF－DB等于________．BE或DF[由图易知AF＝DE，∴AF－DB＝DE－DB＝BE，又BE＝DF，∴AF－DB＝DF.]5．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.[解]如图，作直径BD，连接DA，DC，则OB＝－OD，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC．∴CH∥DA，AH∥DC，∴四边形AHCD是平行四边形，∴AH＝DC.又DC＝OC－OD＝OB＋OC，∴OH＝OA＋AH＝OA＋DC＝OA＋OB＋OC.
