高中数学 第8章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直 课时作业34 直线与直线垂直 新人教A版必修第二册-新人教A版高一第二册数学试题VIP专享VIP免费

课时作业34直线与直线垂直知识点一异面直线所成的角1.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝，AA1＝，则异面直线AC1与BB1所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案C解析如图，因为BB1∥AA1，所以∠A1AC1为异面直线AC1与BB1所成的角．因为tan∠A1AC1＝＝＝，所以∠A1AC1＝60°，故选C.2．如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()A．CC1与B1E是异面直线B．CC1与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°答案C解析由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E是共面的，A错误；由于CC1在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于点E，点E不在C1C上，故CC1与AE是异面直线，同理，AE与B1C1是异面直线，所以B错误，C正确；AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，D错误．故选C.3．在棱长为a的正方体ABCD－A′B′C′D′中，求：(1)A′B和AD′所成的角；(2)D′B和AC所成的角．解(1)如图，连接BC′，A′C′， AD′∥BC′，∴∠A′BC′即为A′B与AD′所成的角．又A′C′＝A′B＝BC′＝a，∴∠A′BC′＝60°，∴A′B和AD′所成的角为60°.(2)如图，连接BD，与AC交于点O，则O为AC的中点，取DD′的中点E，连接OE，则OE∥BD′，则∠AOE即为AC与BD′所成的角．连接AE，CE，则AE＝CE，∴△ACE为等腰三角形．∴EO⊥AC，即∠AOE＝90°.∴D′B和AC所成的角为90°.知识点二异面直线的垂直4.长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱所在直线与棱AA1所在直线垂直的共有()A．6条B．8条C．10条D．12条答案B解析12条棱所在直线中与棱AA1所在直线垂直的有AB，BC，CD，DA，A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，共8条．5．已知直线a，b，c，下列三个命题：①若a与b异面，b与c共面，则a与c异面；②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；③若a⊥b，a∥c，则b⊥c.其中，正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析①不正确，如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③正确，故选B.6.如图所示，在空间四边形ABCD中，两条对边AB＝CD＝3，E，F分别是另外两条对边AD，BC上的点，且＝＝，EF＝，求证：AB⊥CD.证明如图，连接BD，过点E作AB的平行线交BD于点O，连接OF. EO∥AB，∴＝＝，＝＝.又AB＝3，∴EO＝2. ＝，∴＝，∴OF∥DC.∴OE与OF所成的锐角(或直角)即为AB和CD所成的角．∴＝＝. DC＝3，∴OF＝1.在△OEF中， OE2＋OF2＝5，EF2＝()2＝5，∴OE2＋OF2＝EF2，∴∠EOF＝90°.∴AB和CD所成的角为90°.∴AB⊥CD.一、选择题1．如果空间两条直线互相垂直，那么它们()A．一定相交B．是异面直线C．是共面直线D．一定不平行答案D解析由平面几何知识和异面垂直的定义可知，互相垂直的两条直线可垂直相交或异面垂直，故选D.2．如图所示，正方体ABCD－A′B′C′D′中，AB的中点为M，DD′的中点为N，则异面直线B′M和CN所成角的大小是()A．90°B．60°C．45°D．30°答案A解析如图，取AA′的中点E，连接BE，EN，则BE∥NC，∴异面直线B′M和CN所成的角就是直线BE与直线B′M所成的锐角(或直角)，根据△ABE≌△BB′M可得BE⊥B′M，∴异面直线B′M和CN所成的角为90°.3．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，则异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为()A.B.C.D.答案C解析如图，补上一相同的长方体CDEF－C1D1E1F1，连接DE1，B1E1.易知AD1∥DE1，则∠B1DE1为异面直线AD1与DB1所成的角或其补角．因为在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝1，AA1＝，所以DE1＝＝＝2，DB1＝＝，B1E1＝＝＝，在△B1DE1中，由余弦定理，得cos∠B1DE1＝＝，即异面直线AD1与DB1所成角的余弦值为.故选C.4．如图，空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD的中点．若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为()A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析取AD的中点H，连接FH，EH，则EH∥CD，FH∥AB.∠FEH是EF与CD所成的角或其补角，∠EFH是EF与AB所成的角或其补角． EF⊥AB，∴在△EFH中，∠EFH＝90°. CD＝2AB，∴HE＝2HF，∴∠FEH＝30°.5．已知两异面直线a，b所成的角为17°，过空间一点P作直线l，使得l与a，b的夹角均为9°，那么这样的直线l有()...