第7课时球的体积和表面积课时目标1.了解球的表面积及体积公式的推导方法．2．掌握球的表面积与体积公式的应用．识记强化1．半径为R的球的体积为πR3.2．半径为R的球的表面积为4πR2.3．若球的内接正方体的棱长为a，则球的半径为a，若球的外切正方体的棱长为a，则球的半径为a.课时作业一、选择题(每个5分，共30分)1．若将气球的半径扩大到原来的2倍，则它的体积扩大到原来的()A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案：C解析：设气球原来的半径为r，体积为V，则V＝πr3.当气球的半径扩大到原来的2倍后，其体积变为π(2r)3＝8×πr3＝8V.2．一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是()A．8πB．6πC．4πD．π答案：C解析：设正方体的棱长为a，则a3＝8，即a＝2.故该正方体的内切球的半径r＝1，所以该正方体的内切球的表面积S＝4πr2＝4π.3．一个圆柱和一个圆锥的底面直径和高都同时等于某一个球的直径，则圆柱、圆锥和球的体积之比为()A．4：1：2B．2：1：1C．3：2：1D．3：1：2答案：D解析：球的直径为2R，V圆柱＝πR2·2R＝2πR3，V锥＝πR2·2R＝πR3，V球＝πR3，故V圆柱：V圆锥：V球＝3：1：2.4．一个正方体与一个球表面积相等，那么它们的体积比是()A.B.C.D.答案：A解析：设正方体的边长为a，球的半径为r，∵6a2＝4πr2∴a＝r∴＝＝5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，则圆锥的高与底面半径之比为()A.B.C.D.答案：C解析：设球半径为r，圆锥的高为h，则×π·(3r)2·h＝πr3，∴h＝r，∴＝.6．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()A．πa2B.πa2C.πa2D．5πa2答案：B解析：由题意，知该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.如图，点P为三棱柱上底面的中心，点O为三棱柱外接球的球心，易知AP＝×a＝a，OP＝a，所以球的半径R满足R2＝2＋2＝a2，故S球＝4πR2＝πa2，二、填空题(每个5分，共15分)7．若一个球的体积为4π，则它的表面积为________．答案：12π解析：设球的半径为R，则πR3＝4π，∴R＝，∴球的表面积S＝4πR2＝4π×3＝12π.8．已知一个球与高为2的圆柱的上、下底面及侧面都相切，那么球的表面积为________，体积为________．答案：4π，解析：由题意可知，球的直径为2R＝2，R＝1，故球的表面积S＝4πR2＝4π，体积V＝πR3＝.9．已知半径为5的球的两个平行截面圆的周长分别为6π和8π，则这两个截面间的距离为________．答案：1或7解析：若两个平行截面在球心的同侧，则两个截面间的距离为－＝1；若两个平行截面在球心的异侧，则两个截面间的距离为＋＝7.三、解答题10．(12分)若正四面体(四个面都是正三角形的三棱锥)的棱长为6，求它的内切球的表面积．解：内切球的球心是正四面体的中心，设球与侧面和底面的切点分别为E、F，过两切点以及球心O作截面如图，又切点为各面正三角形中心，则AB＝×6＝3，BF＝AB＝.由Rt△AOE∽Rt△ABF，得＝，即＝.∴AO＝3r，∴AF＝4r.又AF2＝AB2－BF2，∴(4r)2＝(3)2－()2.∴r＝.∴S球＝4πr2＝6π.11．(13分)如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的高与底面直径相等时，求球的表面积与该圆柱的侧面积之差．解：由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱的底面半径为r，则高h＝2r，由图可知r2＋2＝R2，即2r2＝R2，r＝R，从而h＝R，故圆柱的侧面积为2πrh＝2π×R×R＝2πR2.所以球的表面积与该圆柱的侧面积之差是4πR2－2πR2＝2πR2.能力提升12．(5分)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．答案：＋12解析：该几何体上部是半径为2的半球，下部为长方体，长方体的高为3，底面是边长为2的正方形，故V＝××23＋22×3＝＋12.13．(15分)如图，求图中阴影部分绕AB旋转一周所形成的几何体的表面积和体积．解：由题意知所求旋转体的表面由三部分组成：圆台下底面、侧面和半球面，S半球＝×4π×22＝8π，S圆台侧＝π(2＋5)×＝35π，S圆台底＝π×52＝25π.故所求几何体的表面积为8π＋35π＋25π＝68π.又V圆台＝×(π×22＋＋π×52)×4＝52π，V半球＝π×23×＝π，所以所求几何体的体积为V圆台－V半球＝52π－π＝π.
