课时29向量的线性运算知识点一向量的加法与数乘向量的混合运算1.化简：(1)2＝________；(2)2(a＋b)＋3(a＋b)＝________；(3)(a＋b)＋(a＋b)＝________________.答案(1)a＋6b(2)5a＋5b(3)(a＋b)解析(1)原式＝2×a＋2×3b＝a＋6b.(2)原式＝2a＋2b＋3a＋3b＝5a＋5b.(3)原式＝λ(a＋b)＋μ(a＋b)＋λ(a＋b)＋μ(a＋b)＝(a＋b)＋(a＋b)＝λ＋μ(a＋b)＝(a＋b)．知识点二向量的线性运算2.化简下列各式：(1)(2a＋3b－c)－(3a－2b＋c)＋2(c－3b)＝________；(2)＝________.答案(1)－a－b(2)a－b解析(1)原式＝2a＋3b－c－3a＋2b－c＋2c－6b＝(2－3)a＋(3＋2－6)b＋(－1－1＋2)c＝－a－b.(2)原式＝＝＝＝a－b.3．(1)已知3(x＋a)＋3(x－2a)－4(x－a＋b)＝0(其中a，b为已知向量)，求x；(2)已知其中a，b为已知向量，求x，y.解(1)原方程化为3x＋3a＋3x－6a－4x＋4a－4b＝0.得2x＋a－4b＝0，即2x＝4b－a.∴x＝2b－a.(2)由②得y＝x－b，代入①，得3x＋4＝a，∴3x＋x－b＝a，∴x＝a＋b.∴y＝－b＝a＋b－b＝a－b.综上可得知识点三向量的线性运算的应用4.如图所示，D是△ABC的边AB上的中点，则向量CD＝()A．BC＋BAB．－BC＋BAC．－BC－BAD．BC－BA答案B解析解法一： D是AB的中点，∴BD＝BA，∴CD＝CB＋BD＝－BC＋BA.解法二：CD＝(CB＋CA)＝[CB＋(CB＋BA)]＝CB＋BA＝－BC＋BA.5．已知AB＝a＋5b，BC＝－2a＋8b，CD＝3(a－b)，则()A．A，B，C三点共线B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线D．B，C，D三点共线答案B解析 BD＝BC＋CD＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝AB，∴AB与BD平行，又AB与BD有公共点B，则A，B，D三点共线．6．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列命题：①AD＝－a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④AD＋BE＋CF＝0.其中正确命题的序号为________．答案①②③④解析如图，AD＝AC＋CD＝－b＋CB＝－b－a.BE＝BC＋CE＝a＋b.CF＝CA＋AB＝CA＋(AC＋CB)＝b＋(－b－a)＝b－a.AD＋BE＋CF＝－b－a＋a＋b＋b－a＝0.7．设x，y是未知向量．(1)解方程5(x＋a)＋3(x－b)＝0；(2)解方程组解(1)原方程可变为5x＋5a＋3x－3b＝0，即8x＝－5a＋3b，∴x＝－a＋b.(2)－2×①＋②，得y＝－2a＋b，∴y＝－a＋b.代入②，得x＝－a＋b.∴8．在△ABC中，已知点D，E分别在边AC，AB上，且＝＝，设BC＝a，CA＝b.求证：DE＝(b－a)．证明 ＝＝，∴DA＝CA＝b，AE＝AB＝(AC＋CB)＝(－b－a)＝－b－a.∴DE＝DA＋AE＝b－b－a＝b－a＝(b－a).易错点用已知向量表示未知向量时，考虑问题不全面致误9.在三角形ABC中，点D为BC的三等分点，设向量a＝AB，b＝AC，用向量a，b表示AD＝________.易错分析本题出错的原因是忽视了三等分点是两种情况，应有BD＝BC或BD＝BC.解题时条件转化要全面准确．答案a＋b或a＋b正解因为D为BC的三等分点，当BD＝BC时，如图1，BD＝BC，所以AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.当BD＝BC时，如图2，BD＝BC，所以AD＝AB＋BD＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC＝a＋b.一、选择题1．化简：3(2a＋b)＋2(4a＋2b)＝()A．7a＋4bB．14a＋4bC．7a＋14bD．14a＋7b答案D解析原式＝6a＋3b＋8a＋4b＝14a＋7b.故选D.2．已知向量a，b不共线，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值为()A．3B．－3C．0D．2答案A解析 (3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，∴解得∴x－y＝3.3．平面上有一个△ABC和一点O，设OA＝a，OB＝b，OC＝c.又OA，BC的中点分别为D，E，则向量DE等于()A.(a＋b＋c)B.(－a＋b＋c)C.(a－b＋c)D.(a＋b－c)答案B解析DE＝OE－OD＝(OB＋OC)－OA＝(－a＋b＋c)．4．设D为△ABC所在平面内一点，BD＝BC，则AD等于()A.AB＋ACB.AB＋ACC.AB－ACD.AB－AC答案B解析 BD＝BC，∴AD－AB＝(AC－AB),∴AD＝AB＋AC.故选B.5．以下选项中，a与b不一定共线的是()A．a＝5e1－e2，b＝2e2－10e1B．a＝4e1－e2，b＝e1－e2C．a＝e1－2e2，b＝e2－2e1D．a＝3e1－3e2，b＝－2e1＋2e2.答案C解析找出一个非零实数λ使得a＝λb即可判断a∥b.A项中a＝－b；B项中a＝4b；D项中a＝－b，故A，B，D三项中a∥b，而C项中a＝e1－2e2，b＝－2e1＋e2，所以C项a与b不一定共线，故选C.二、填空题6．已知向量a，b不共...
