课时28数乘向量知识点一数乘向量的概念1.已知λ∈R，则下列结论正确的是()A．|λa|＝λ|a|B．|λa|＝|λ|·aC．|λa|＝|λ|·|a|D．|λa|>0答案C解析当λ<0时，|λa|＝λ|a|不成立，A错误；|λa|是一个非负实数，而|λ|a是一个向量，B错误；当λ＝0或a＝0时，|λa|＝0，D错误．故选C.2．试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)若λa＝0，则λ＝0；(2)若非零向量a，b满足|a－b|＝|a|＋|b|，λμ>0，则λa与μb同向．解(1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.(2)错误．由|a－b|＝|a|＋|b|知a与b反向．由λμ>0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．知识点二数乘运算的运算律3.化简下列各式：(1)×6a；(2)(－3)××8a；(3)7×a.解(1)×6a＝a＝2a.(2)(－3)××8a＝×8a＝a＝－6a.(3)7×a＝a＝－a.4．把下列向量a表示为数乘向量b的形式：(1)a＝3e，b＝－6e；(2)a＝8e，b＝16e；(3)a＝e，b＝－e；(4)a＝e，b＝－e.解(1)a＝3e＝×(－6)e，故a＝－b.(2)a＝8e＝×16e，故a＝b.(3)a＝e＝(－2)×e，故a＝－2b.(4)a＝e＝×e，故a＝－b.知识点三数乘向量的应用5.如果c是非零向量，且a＝－2c,3b＝c，那么a，b的关系是()A．相等B．共线C．不共线D．不能确定答案B解析∵a＝－2c,3b＝c且c为非零向量，∴a＝－6b，∴a与b共线且方向相反．6．已知AB＝－2e，AC＝3e，判断A，B，C三点是否共线，如果共线，求出AB∶AC.解由AB＝－2e，得e＝－AB，由AC＝3e，得e＝AC，故－AB＝AC，∴AC＝－AB.即AB与AC平行，又AB与AC有公共点A，∴A，B，C三点共线，又|AC|＝|AB|，∴AB∶AC＝2∶3.一、选择题1．下列说法中，正确的是()A．0a＝0B．λμ＜0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反C．若b＝λa(a≠0)，则＝λD．若|b|＝|λa|(a≠0)，则＝λ答案B解析A错误，0a应该等于0；B正确，当λμ<0时，λ，μ异号，又a≠0，则λa与μa方向一定相反；C错误，向量没有除法；D错误，应等于|λ|.故选B.2．3×8×a＝()A．－2aB．8aC．－6aD．4a答案C解析3×8×a＝24×a＝－6a，故选C.3．已知a＝－e，b＝e，设b＝λa(λ∈R)，则λ等于()A．－B．－C．－D．－2答案C解析由a＝－e，得e＝－a，故b＝e＝×a＝－a，所以λ＝－.故选C.4．已知向量a与b反向，且|a|＝r，|b|＝R，b＝λa，则λ的值等于()A.B．－C．－D.答案C解析∵b＝λa，∴|b|＝|λ||a|.又a与b反向，∴λ＝－.5．若AB＝3e1，CD＝－5e1，且|AD|＝|BC|，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．菱形C．等腰梯形D．不等腰的梯形答案C解析∵AB＝3e1，CD＝－5e1，∴CD＝－AB，∴AB与CD平行，且|CD|＝|AB|，又|AD|＝|BC|，故四边形ABCD是等腰梯形．故选C.二、填空题6．下列说法正确的个数为________．①任意两个单位向量都相等；②与a同向的单位向量是；③2020cm长的有向线段不可能表示单位向量；④所有单位向量的始点移到同一点，则它们的终点可构成一个半径为1的圆．答案1解析①错误，任意两个单位向量的长度相等，但方向不一定相同；②错误，若a＝0，则没有相应的单位向量；③错误，一个单位长度取2020cm时，2020cm长的有向线段恰好表示单位向量；④显然正确．7．若AP＝AB，AB＝λBP，则实数λ的值为________．答案－解析AP＝AB，如图．结合图形可知AB＝－BP.故λ＝－.8．已知点C在线段AB上，且＝，则AC＝____AB.答案解析如图，因为＝，且点C在线段AB上，则AC与CB同向，且|AC|＝|CB|，故AC＝AB.9．设P是△ABC所在平面内的一点，且CP＝2PA，则△PAB与△PBC的面积之比是________．答案1∶2解析画出图形如图所示．∵CP＝2PA，∴P为边AC上靠近A点的三等分点．又△PAB与△PBC的底边长之比为|PA|∶|CP|＝1∶2，且高相等，∴△PAB与△PBC的面积之比为1∶2.三、解答题10．如图，已知非零向量a，求作向量2a，a，－3a，－a.解将向量a依次同向伸长到原来的2倍，同向缩短为原来的，反向伸长到原来的3倍，反向缩短为原来的，就分别得到向量2a，a，－3a，－a，如图所示．11．如图所示，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝3CD，若AB＝a，AD＝b，试用a，b表示向量AC.解因为AB∥CD，且AB＝3CD，所以AB＝3DC，DC＝AB＝a，所以AC＝AD＋DC＝b＋a.
