课时分层作业(二十四)幂函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)；②幂函数的图象不可能是一条直线；③n＝0时，函数y＝xn的图象是一条直线；④幂函数y＝xn，当n>0时是增函数；⑤幂函数y＝xn，当n<0时，在第一象限内函数值随x值的增大而减小；⑥幂函数的图象不可能在第四象限．其中正确的有()A．①③B．②④C．⑤⑥D．③⑥C[幂函数y＝xn，只有当n>0时，其图象才都经过点(1,1)和点(0,0)，故①错误；幂函数y＝xn，当n＝1时，则其图象就是一条直线，故②错误；幂函数y＝xn，当n＝0时，则其图象是y＝1这条直线上去除(0,1)点后的剩余部分，故③错误；幂函数y＝x2，当x∈(0，＋∞)时，是增函数，当x∈(－∞，0)时，是减函数，故④错误；根据幂函数的性质可知，只有⑤⑥是正确的．]2．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R且为奇函数的所有α值的个数为()A．1B．2C．3D．4B[使函数y＝xα的定义域为R的有1,2,3，其中为奇函数的有1,3．]3．已知幂函数f(x)＝(m2－3)x－m在(0，＋∞)为单调增函数，则实数m的值为()A．B．±2C．2D．－2D[因为函数f(x)＝(m2－3)x－m为幂函数，所以m2－3＝1，所以m＝±2，因为函数f(x)在(0，＋∞)为单调增函数，所以－m>0，因此m＝－2，选D．]4．若f(x)是幂函数，且满足＝2，则f＝()A．16B．4C．D．D[因为函数f(x)是幂函数，设f(x)＝xα，由题设＝2⇒3α＝2，所以f＝＝＝．]5．不论α取何值，函数y＝(x－1)α＋2的图象恒过点A，则点A的坐标为()A．(1,3)B．(2,3)C．(2,1)D．(0,3)B[ 幂函数y＝xα的图象恒过点(1,1)，∴y＝(x－1)α的图象恒过点(2,1)，∴y＝(x－1)α＋2的图象恒过点(2,3)．]二、填空题6．若幂函数y＝x(m，n∈N*且m，n互质)的图象如图所示，则下列说法中正确的是．①m，n是奇数且<1；②m是偶数，n是奇数，且>1；③m是偶数，n是奇数，且<1；④m，n是偶数，且>1．③[由题图知，函数y＝x为偶函数，m为偶数，n为奇数，又在第一象限向上“凸”，所以<1，选③．]7．已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)x(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为．1[由于f(x)为幂函数，所以n2＋2n－2＝1，解得n＝1或n＝－3，经检验只有n＝1适合题意．]8．如图中曲线是幂函数y＝xn在第一象限的图象，已知n取±2，±四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为．2，，－，－2[函数y＝x－2，y＝x2，y＝x，y＝x中令x＝4得到的函数值依次为，16，，2，函数值由大到小对应的解析式为y＝x2，y＝x，y＝x，y＝x－2，因此相应于曲线C1，C2，C3，C4的n值依次为2，，－，－2．]三、解答题9．比较下列各组数的大小：(1)3和3．1；(2)8和(－9)；(3)，和．[解](1)构造函数f(x)＝x，此函数在[0，＋∞)上是增函数． 3<3.1，∴3<3.1．(2)构造f(x)＝x，函数是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，所以(－9)＝9． 8<9，∴8>9，∴8>(－9)．(3)构造函数y＝x，此函数为偶函数，在[0，＋∞)上是增函数，则＝>＝>0．函数y＝x，此函数在R上是增函数，则<0<0，故<<．10．已知幂函数y＝xm－2(m∈N)的图象与x，y轴都无交点，且关于y轴对称．求m的值，并画出它的图象．[解] 图象与x，y轴都无交点，∴m－2≤0，即m≤2．又m∈N，∴m＝0,1,2． 幂函数图象关于y轴对称，∴m＝0，或m＝2．当m＝0时，函数为y＝x－2，图象如图(1)；当m＝2时，函数为y＝x0＝1(x≠0)，图象如图(2)．1．函数y＝x的图象是()ABCDC[ 函数y＝x是非奇非偶函数，故排除A、B选项．又>1，故选C．]2．函数y＝x在[－1,1]上是()A．增函数且是奇函数B．增函数且是偶函数C．减函数且是奇函数D．减函数且是偶函数A[由幂函数的性质可知，当α>0时，y＝xα在第一象限内是增函数，所以y＝x在(0,1]上是增函数．令y＝f(x)＝x，x∈[－1,1]，则f(－x)＝(－x)＝－x＝－f(x)，所以f(x)＝x是奇函数．因为奇函数的图象关于原点对称，所以当x∈[－1,0)时，y＝x也是增函数．当x＝0时，y＝0，又当x<0时，y＝x<0，当x>0时，y＝x>0，所以y＝x在[－1,1]上是增函数．故y＝x在[－1,1]上是增函数且是奇函数．]3．若(a＋1)<(3－2a)，则a的取值范围是．[(a＋1)－<(3－2a)⇔<，函数y＝x在[0，＋∞)上是增函数...
