第5课时同角三角函数的基本关系(1)课时目标1.理解并掌握同角三角函数的基本关系式．2．能够利用同角三角函数的基本关系进行简单的化简、求值与恒等证明．识记强化1．同角三角函数的基本关系式包括：①平方关系：sin2α＋cos2α＝1②商数关系：tanα＝.2．商数关系tanα＝成立的角α的范围是α≠kπ＋(k∈Z)．3．sin2α＋cos2α＝1的变形有sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α，1＝sin2α＋cos2α等．tanα＝的变形有sinα＝tanα·cosα，cosα＝等．课时作业一、选择题1．已知sinα＝，且α是第二象限角，那么tanα的值是()A．－B．－C.D.答案：A解析：cosα＝－＝－，所以tanα＝＝－.2.化简结果为()A．cosB．－cosC．±cosD．－cos答案：B3．已知sinθ＋cosθ＝1，则sinθ－cosθ的值为()A．1B．－1C．±1D．0答案：C解析：将sinθ＋cosθ＝1两边平方得sinθcosθ＝0.即或，故sinθ－cosθ＝±1.4．已知α、β均为锐角，2tanα＋3sinβ＝7，tanα－6sinβ＝1，则sinα的值是()A.B.C.D.答案：C解析：由解得tanα＝3.∴＝3，又sin2α＋cos2α＝1，且α为锐角，∴sinα＝.故选C.5．如果sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1，那么角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角答案：C解析：∵－sin2α＋(－cos2α)＝－1，∴只有|sinα|＝－sinα，|cosα|＝－cosα时，sinα|sinα|＋cosα|cosα|＝－1才能成立．sinα、cosα同时小于零，所以α是第三象限角．6．若角α的终边落在直线x＋y＝0上，则＋的值为()A．－2B．2C．－2或2D．0答案：D解析：∵角α的终边在x＋y＝0上，∴当α在第二象限时，sinα＝－cosα＝；当α在第四象限时，sinα＝－cosα＝－，∴原式＝＋＝0.二、填空题7．若＝，则tanα＝________.答案：－3解析：＝＝，∴tanα＝－3.8．化简：＝________.答案：cos20°－sin20°解析：原式＝＝＝|cos20°－sin20°|＝cos20°－sin20°.9．如果tanα＝，π＜α＜π，则sinαcosα＝________.答案：解析：sinαcosα＝＝＝＝＝＝.三、解答题10．已知sinα＝，求cosα，tanα的值．解：因为sinα>0，sinα≠1，所以α是第一或第二象限角．由sin2α＋cos2α＝1，得cos2α＝1－sin2α＝.若α是第一象限角，那么cosα>0，于是cosα＝，从而tanα＝＝；若α是第二象限角，那么cosα＝－，tanα＝－.11．已知0<α<π，sinα＋cosα＝，求tanα的值．解：由sinα＋cosα＝两边平方，得sinαcosα＝－<0，由0<α<π可知：sinα>0，cosα<0，故<α<π，所以(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.由<α<π知：sinα－cosα>0，所以sinα－cosα＝，联立得sinα＝，cosα＝－，所以，tanα＝＝－.能力提升12．若α是三角形的内角，且sinα＋cosα＝，则这个三角形是()A．等边三角形B．直角三角形C．锐角三角形D．钝角三角形答案：D解析：等式sinα＋cosα＝，两边平方得：1＋2sinαcosα＝，∴sinαcosα＝－，而α∈(0，π)，∴sinα>0，cosα<0，即α是钝角．13．已知方程8x2＋6kx＋2k＋1＝0的两个实根是sinθ和cosθ.(1)求k的值；(2)求tanθ的值(其中sinθ＞cosθ)．解：(1)由已知得：∵sin2θ＋cos2θ＝1，即(sinθ＋cosθ)2－2sinθcosθ＝1.∴将②、③代入后，得－＝1，即9k2－8k－20＝0，解之，得k＝－或k＝2.∵k＝2不满足①式，故舍去，∴k＝－.(2)把k＝－，代入②、③得解之，得(sinθ＞cosθ)∴tanθ＝＝＝－＝－.
