第1课时正弦函数、余弦函数的周期性与奇偶性A级：“四基”巩固训练一、选择题1．下列函数中，周期为的是()A．y＝sinB．y＝sin2xC．y＝cosD．y＝cos(－4x)答案D解析A中，T＝＝4π；B中，T＝＝π；C中，T＝＝8π；D中，T＝＝，故选D.2．使函数y＝sin(2x＋φ)为奇函数的φ值可以是()A.B.C．πD.答案C解析因为函数y＝sin(2x＋φ)的定义域为R，且为奇函数，所以f(0)＝0，即sin(2×0＋φ)＝sinφ＝0，故φ＝kπ(k∈Z)，故选C.3．函数f(x)＝的奇偶性是()A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．既不是奇函数也不是偶函数答案A解析由1＋cosx≠0得x≠(2k＋1)π，k∈Z，显然定义域关于原点对称．因为f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数，故选A.4．函数y＝－xcosx的部分图象是()答案D解析∵y＝－xcosx是奇函数，它的图象关于原点对称，∴排除A，C；当x∈时，y＝－xcosx＜0，排除B，故选D.5．函数f(x)＝3sin是()A．周期为3π的偶函数B．周期为2π的偶函数C．周期为3π的奇函数D．周期为的偶函数答案A解析∵f(x)＝3sin＝3sin＝3sin＝－3sin＝－3cosx，f(－x)＝－3cos＝－3cosx＝f(x)，f(x＋3π)＝－3cos＝－3cos＝－3cosx＝f(x)，∴该函数是周期函数也是偶函数，且周期T＝3π，故选A.二、填空题6．函数y＝＋2的最小正周期是________．答案解析∵函数y＝sin2x的最小正周期T＝π，∴函数y＝＋2的最小正周期为.7．若f(x)是R上的偶函数，当x≥0时，f(x)＝sinx，则f(x)的解析式是________．答案f(x)＝sin|x|解析当x＜0时，－x＞0，f(－x)＝sin(－x)＝－sinx，∵f(－x)＝f(x)，∴x＜0时，f(x)＝－sinx.∴f(x)＝sin|x|，x∈R.8．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________.答案解析因为f(x)·f(x＋2)＝13，所以f(x＋2)＝，f(x＋4)＝＝f(x)，所以f(x)是以4为周期的函数．所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.三、解答题9．判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝coscos(π＋x)；(2)f(x)＝＋；(3)f(x)＝.解(1)∵∀x∈R，f(x)＝coscos(π＋x)＝－sin2x·(－cosx)＝sin2xcosx.∴f(－x)＝sin(－2x)cos(－x)＝－sin2xcosx＝－f(x)．∴y＝f(x)是奇函数．(2)∵∀x∈R，－1≤sinx≤1，∴1＋sinx≥0,1－sinx≥0.∴f(x)＝＋的定义域是R.∵f(－x)＝＋，＝＋＝f(x)，∴y＝f(x)是偶函数．(3)∵esinx－e－sinx≠0，∴sinx≠0，∴x∈R且x≠kπ，k∈Z.∴定义域关于原点对称．又∵f(－x)＝＝＝－f(x)，∴该函数是奇函数．10．已知函数y＝sinx＋|sinx|，(1)画出函数的简图；(2)此函数是周期函数吗？若是，求其最小正周期．解(1)y＝sinx＋|sinx|＝图象如图所示：(2)由图象知该函数是周期函数，其最小正周期是2π.B级：“四能”提升训练1．已知f(x)＝sinax(a＞0)的最小正周期为12.(1)求a的值；(2)求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)．解(1)由＝12，得a＝.(2)∵f(x)＝sinx的最小正周期为12，且f(1)＋f(2)＋…＋f(12)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2019)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0＋f(2017)＋f(2018)＋f(2019)＝0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝0＋sin＋sin＋sin＝.2．已知函数f(x)＝cos，若函数g(x)的最小正周期是π，且当x∈时，g(x)＝f，求关于x的方程g(x)＝的解集．解当x∈时，g(x)＝f＝cos.因为x＋∈，所以由g(x)＝，解得x＋＝－或，即x＝－或－.又因为g(x)的最小正周期为π.所以g(x)＝的解集为{x|x＝kπ－或x＝kπ－，k∈Z}
