课时作业(二十六)空间直角坐标系、空间两点间的距离公式A组基础巩固1．在空间直角坐标系中，点P(1，，)，过点P作平面xOy的垂线PQ，则垂足Q的坐标为()A．(0，，0)B．(0，，)C．(1,0，)D．(1，，0)解析：Q在过P(1，，)且垂直于面xOy的线上，故Q的横纵坐标与P相等，Q在面xOy上，故Q的竖坐标为0，应选D.答案：D2．点A(2,3－μ，－1＋v)关于x轴的对称点A′(λ，7，－6)，则()A．λ＝－2，μ＝－1，v＝－5B．λ＝2，μ＝－4，v＝－5C．λ＝2，μ＝10，v＝8D．λ＝2，μ＝10，v＝7解析：由已知对称性知即故选D.答案：D3．△ABC的空间直角坐标系中的位置及顶点坐标如图所示，则BC边上的中线的长是()A.B．2C.D．3解析：BC的中点坐标为M(1,1,0)，又A(0,0,1)，∴|AM|＝＝.答案：C4．点A在z轴上，它到点(2，，1)的距离是，则A点的坐标是()A．(0,0，－1)B．(0,1,1)C．(0,0,1)D．(0,0,13)解析：设A(0,0，c)则＝，解得c＝1.所以点A的坐标为(0,0,1)．答案：C5．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，若D(0,0,0)、A(4,0,0)、B(4,2,0)、A1(4,0,3)，则对角线AC1的长为()A．9B.C．5D．2解析：画出长方体的图形，可以求出C1(0,2,3)，∴|AC1|＝，故选B.答案：B6．在空间直角坐标系中，定点P到三个坐标轴的距离都是1，则该点到原点的距离是()A.B.C.D.解析：设P(x，y，z)，由题意可知∴x2＋y2＋z2＝，答案：A7.在空间直角坐标系中，点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(a，－1，c－2)，则点P(a，b，c)到坐标原点O的距离|PO|＝__________.解析：本题主要考查空间直角坐标系中的对称问题和空间两点间的距离公式．点(－1，b,2)关于y轴的对称点是(1，b，－2)，所以点(a，－1，c－2)与点(1，b，－2)重合，所以a＝1，b＝－1，c＝0，所以|PO|＝＝.答案：8．点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(x，y，z)，则x＋y＋z＝________.解析：点P(1,2，－1)在xOz平面内的射影为B(1,0，－1)∴x＝1，y＝0，z＝－1，∴x＋y＋z＝1＋0－1＝0.答案：09．已知A(－3,1,1)，B(－2,2,3)，在z轴上有点P到A，B两点的距离相等，则点P的坐标是________．解析：设P(0,0，z)，1则有＝，∴z＝.答案：10．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，点M是B1C1的中点，点N是AB的中点．建立如图所示的空间直角坐标系．(1)写出点D，N，M的坐标；(2)求线段MD，MN的长度．解析：(1)因为D是原点，则D(0,0,0)．由|AB|＝|BC|＝2，|D1D|＝3，得A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,3)，C1(0,2,3)．又N是AB的中点，故N(2,1,0)．同理可得M(1,2,3)．(2)由两点间距离公式，得|MD|＝＝，|MN|＝＝.B组能力提升11．已知点A(2，－4,3)，点C与点A关于平面xOy对称，点B与点A关于x轴对称，则|BC|的长为()A．8B．4C．4D．4解析：由题意点A(2，－4,3)关于平面xOy的对称点C的坐标(2，－4，－3)，点A关于x轴对称的点B的坐标(2,4，－3)，所以BC＝(0，－8,0)．∴|BC|＝8故选：A.答案：A12．如图，三棱锥A－BCD中，AB⊥底面BCD，BC⊥CD，且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则AE的长为__________．解析：建立空间直角坐标系，因为AB⊥底面BCD，BC⊥CD且AB＝BC＝1，CD＝2，点E为CD的中点，则A(0,0,1)，C(1,0,0)，D(1,2,0)，E(1,1,0)，所以|AE|＝.答案：213．如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，|PA|＝|AC|＝|AB|＝4，N为AB上一点，|AN|＝|AB|，M、S分别为PB、BC的中点．试建立适当的空间直角坐标系，求点M、N、S的坐标．解析：由线面垂直的性质可知AB、AC、AP三条线段两两垂直，如图，分别以AB、AC、AP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则B(8,0,0)，C(0,4,0)，P(0,0,4)，因为M、S分别为PB、BC的中点，由中点坐标公式可得，M(4,0,2)，S(4,2,0)．因为N在x轴上，|AN|＝|AB|，所以|AN|＝2，所以N(2,0,0)．14．如图所示，建立空间直角坐标系Dxyz，已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是正方体对角线D1B的中点，点Q在棱CC1上．(1)当2|C1Q|＝|QC|时，求|PQ|；(2)当点Q在棱CC1上移动时，求|PQ|的最小值．解析：(1)由题意知点C1(0,1,1)，点D1(0,0,1)，点C(0,1,0)，点B(1,1,0)，点P是体对角线D1B的中点，则点P(，，)．因为点Q在棱CC1上，且2|C1Q|＝|QC|，所以点Q为(0,1，)．由空间两点的距离公式，得|PQ|＝＝＝.(2)当点Q在棱CC1上移动时，则点Q(0,1，a)，a∈[0,1]．由空间两点的距离公式有|PQ|＝＝.故当a＝时，|PQ|取得最小值，此时点Q(0,1，)．3
