课时作业(二十)两条直线的交点坐标、两点间的距离A组基础巩固1．直线2x－y＝7与直线3x＋2y－7＝0的交点坐标为()A．(3，－1)B．(－1,3)C．(－3，－1)D．(3,1)解析：联立两直线的方程，得解得即交点坐标为(3，－1)，故选A.答案：A2．已知点A(－2，－1)，B(a,3)，且|AB|＝5，则a的值为()A．1B．－5C．1或－5D．－1或5解析：由|AB|＝＝5⇒a＝1或a＝－5，故选C.答案：C3．已知三点A(3,2)，B(0,5)，C(4,6)，则△ABC的形状是()A．直角三角形B．等边三角形C．等腰三角形D．等腰直角三角形解析：∵|AB|＝＝，|AC|＝＝，|BC|＝＝，∴|AC|＝|BC|≠|AB|，且|AC|2＋|BC|2≠|AB|2，∴△ABC是等腰三角形，故选C.答案：C4．当a取不同实数时，直线(a－1)x－y＋2a＋1＝0恒过一个定点，这个定点是()A．(2,3)B．(－2,3)C.D．(－2,0)解析：将直线方程化为(x＋2)a＋(－x－y＋1)＝0，由得故直线过定点(－2,3)．答案：B5．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是()A．(2,3)B．(－2，－1)C．(－4，－3)D．(0,1)解析：由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组解得即N点坐标为(2,3)答案：A6．光线从点A(－3,5)射到x轴上，经反射以后经过点B(2,10)，则光线从A走到B的距离为()A．5B．2C．5D．10解析：如图所示，作A(－3,5)点关于x轴的对称点A′(－3，－5)，连接A′B，则光线从A到B走过的路程等于|A′B|，即＝5.答案：C7．若直线l∶y＝kx－与直线2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．解析：如图，直线2x＋3y－6＝0过点A(3,0)，B(0,2)，直线l∶y＝kx－必过点(0，－)．当直线l过A点时，两直线的交点在x轴上；当直线l绕C点逆时针(由位置AC到位置BC)旋转时，交点在第一象限．根据kAC＝＝，得到直线l的斜率k＞.∴倾斜角α的范围为(30°，90°)．答案：30°＜α＜90°18．已知点A(－1,4)，B(2,5)，点C在x轴上，且|AC|＝|BC|，则点C的坐标为__________．解析：设C(x,0)，则由|AC|＝|BC|，得＝，解得x＝2，所以点C的坐标为(2,0)．答案：(2,0)9．直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围为__________．解析：联立解得即两直线的交点坐标为.又交点在第四象限，则解得－＜a＜2.答案：10.在直线x－y＋4＝0上求一点P，使它到点M(－2，－4)，N(4,6)的距离相等，求点P的坐标．解析：设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|＝|PN|，即＝，解得a＝－，故P点的坐标是.B组能力提升11．已知一个矩形的两边所在的直线方程分别为(m＋1)x＋y－2＝0和4m2x＋(m＋1)y－4＝0，则m的值为__________．解析：由题意，可知两直线平行或垂直，则＝≠或(m＋1)·4m2＋1·(m＋1)＝0，解得m＝－或－1.答案：－或－112．已知直线l1：2x＋y－6＝0和点A(1，－1)，过A点作直线l与已知直线l1相交于B点，且使|AB|＝5，求直线l的方程．解析：若l与y轴平行，则l的方程为x＝1，由得B点坐标(1,4)，此时|AB|＝5，∴x＝1为所求直线方程；当l不与y轴平行时，可设其方程为y＋1＝k(x－1)．解方程组得交点B(k≠－2)．由已知＝5，解得k＝－.∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可得，所求直线l的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.13．过点M(0,1)作直线，使它被两已知直线l1∶x－3y＋10＝0和l2∶2x＋y－8＝0所截得的线段恰好被M所平分，求此直线的方程．解析：方法一过点M与x轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y＝kx＋1，若与两已知直线分别交于A、B两点，则解方程组和可得xA＝，xB＝.由题意＋＝0，∴k＝－.故所求直线方程为x＋4y－4＝0.方法二设所求直线与两已知直线分别交于A、B两点，点B在直线2x＋y－8＝0上，故可设(t,8－2t)，由中点坐标公式得A(－t,2t－6)．又因为点A在直线x－3y＋10＝0上，所以(－t)－3(2t－6)＋10＝0，得t＝4，即B(4,0)．由两点式可得所求直线方程为x＋4y－4＝014．设直线l1：y＝2x与直线l2：x＋y－3＝0交于点P，求过点P且与直线l1垂直的直线l的方程．解析：方法一：由得故P(1,2)．又直线l1的斜率为2，∴所求直线l的斜率为－，∴直线l的方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.方法二：设直线l的方程为(x＋y－3)－λ(2x－y)＝0，即(1－2λ)x＋(1＋λ)y－3＝0.∵该直线与2x－y＝0垂直，∴2(1－2λ)－(1＋λ)＝0，解得λ＝.故所求直线方程为x＋2y－5＝0.2
