第3章三角恒等变换章末检测试卷(三)(时间：120分钟满分：160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分)1．sin53°cos23°－cos53°sin23°＝________.答案解析原式＝sin(53°－23°)＝sin30°＝.2．已知sin(45°＋α)＝，则sin2α＝________.答案－解析 sin(45°＋α)＝(sinα＋cosα)＝，∴sinα＋cosα＝.两边平方，得1＋sin2α＝，∴sin2α＝－.3．已知sinα－cosα＝－，则sin2α＝________.答案解析由sinα－cosα＝－，两边平方可得sin2α＋cos2α－2sinαcosα＝，化为1－sin2α＝，则sin2α＝.4．已知β∈，满足tan(α＋β)＝，sinβ＝，则tanα＝________.答案解析因为β∈，sinβ＝，所以cosβ＝，所以tanβ＝＝.又因为tan(α＋β)＝，所以tanα＝tan[(α＋β)－β]＝＝＝.5．已知α是第二象限的角，tan(π＋2α)＝－，则tanα＝________.答案－解析由tan(π＋2α)＝－，得tan2α＝－，又tan2α＝＝－，解得tanα＝－或tanα＝2，又α是第二象限的角，所以tanα＝－.6．已知cos＋cos＝，且α∈，则sin＝________.答案解析因为cos＋cos＝，所以cos＋sinα＝，所以cosα＋sinα＋sinα＝，所以＝sin＝，得sin＝.因为α∈，故α＋∈，所以cos＝，所以sin＝sin＝sincos＋cossin＝×＋×＝.7．已知sinα＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为________．答案－解析 sinα＝，α∈，∴cosα＝－＝－，∴tanα＝＝－. tan(π－β)＝，∴tanβ＝－，则tan(α－β)＝＝－.8.的值是________．答案1解析 ＝＝tan45°＝1，∴＝1.9.＝________.答案解析＝cos2－sin2＝cos＝.10．设α为锐角，若cos＝，则sin＝________________________.答案－解析因为α为锐角，所以α＋∈，所以sin＝＝，则sin＝sin＝×－×＝－.11．已知α，β均为锐角，且tanβ＝，则tan(α＋β)＝________.答案1解析tanβ＝＝＝tan. α，β均为锐角，∴β＝－α，∴α＋β＝，∴tan(α＋β)＝tan＝1.12．设△ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sinA，sinB)，n＝(cosB，cosA)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C的值为________．答案解析 m·n＝sinAcosB＋cosAsinB＝sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，∴sin(A＋B)－cos(A＋B)＝sinC＋cosC＝2sin＝1，∴sin＝， 00，∴tanα<0，tanβ<0. －<α<，－<β<，∴－<α<0，－<β<0.∴－π<α＋β<0，∴tan(α＋β)＝＝＝，∴α＋β＝－.16．(14分)已知函数f(x)＝2cos2x＋sin2x－4cosx.(1)求f的值；(2)求f(x)的最大值和最小值．解(1)f＝2cos＋sin2－4cos＝－1＋－2＝－.(2)f(x)＝2(2cos2x－1)＋(1－cos2x)－4cosx＝3cos2x－4cosx－1＝32－，x∈R.因为cosx∈[－1,1]，所以当cosx＝－1时，f(x)取得最大值6；当cosx＝时，f(x)取得最小值－.17．(14分)已知函数f(x)＝sin2x＋2sinxcosx＋sinsin，x∈R.(1)求f(x)的最小正周期和值域；(2)若x0为f(x)的一个零点，求sin2x0的值．解(1)f(x)＝sin2x＋sin2x＋(sin2x－cos2x)＝＋sin2x－cos2x＝sin2x－cos2x＋＝2sin＋，所以f(x)的最小正周期为π，值域为.(2)由f(x0)＝2sin＋＝0，得sin＝－<0.又由0≤x0≤，得－≤2x0－≤，所以－≤2x0－<0，所以cos＝.故sin2x0＝sin＝sincos＋cossin＝－×＋×＝.18．(16分)(1)已知＜α＜π，tanα＋＝－，求的值；(2)已知0＜α＜＜β＜π，tan＝，cos(β－α)＝，求β的值．解(1)因为＜α＜π，所以－1＜tanα＜0，由tanα＋＝－，得3tan2α＋10tanα＋3＝...
