【金版学案】2015-2016学年高中数学第3章三角恒等变换本章知识整合苏教版必修4网络构建求值题三角函数的求值主要有两类题型，给角求值与给值求值．给角求值一般是利用和、差、倍角公式进行变换，使其出现特殊角，若为非特殊角，则应变为可消去或约分的情况，从而求出其值．给值求值一般应先化简所求的式子，弄清实际所求，或变化已知的式子，寻找已知与所求的联系，再求值．已知α∈，β∈，且cos＝，sin＝－，求cos(α＋β)．分析：由已知条件要求cos(α＋β)，应注意到角之间的关系，α＋β＝－，可应用两角差的余弦公式求得．解析：由已知α∈得－α∈，∴－α∈.又cos＝，∴sin＝－.由β∈，得＋β∈，又 sin＝sin1＝－sin＝－，∴sin＝.∴cos＝.由－＝α＋β，得cos(α＋β)＝cos＝coscos＋sin·sin＝×＋×＝－.◎规律总结：给值求值的关键是找出已知式与欲求式之间的差异，一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用，同时也要变换欲求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的．1．已知cos(α＋β)＝，cos(α－β)＝，求tanα·tanβ的值．解析： cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝，①cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ＝，②①＋②得cosαcosβ＝，②－①得sinαsinβ＝－，∴tanαtanβ＝＝＝－.求sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值．解析：方法一原式＝(1－cos40°)＋(1＋cos160°)＋·(sin100°－sin60°)＝1＋(cos160°－cos40°)＋sin100°－＝－sin100°sin60°＋sin100°＝.方法二原式＝sin220°＋cos2(60°＋20°)＋sin20°·cos(60°＋20°)＝sin220°＋＋sin20°·＝sin220°＋cos220°＝.方法三令M＝sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°，则其对偶式N＝cos220°＋sin280°＋cos20°sin80°.因为M＋N＝(sin220°＋cos220°)＋(cos280°＋sin280°)＋·(sin20°cos80°＋cos20°sin80°)＝2＋sin100°，①M－N＝(sin220°－cos220°)＋(cos280°－sin280°)＋(sin20°cos80°－cos20°sin80°)＝－cos40°＋cos160°－sin60°＝－2sin100°sin60°－＝－sin100°－，②所以①＋②得2M＝，M＝，即sin220°＋cos280°＋sin20°cos80°的值为.◎规律总结：“给角求值”问题，一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定的关系，解题时，要认真观察，综合三角公式转化为特殊角并且清除非特殊角的三角函数而得解．22．求的值．解析：原式＝＝＝＝＝＝－4.一元二次方程mx2＋(2m－3)x＋(m－2)＝0的两根为tanα，tanβ.求tan(α＋β)的最小值．解析： mx2＋(2m－3)x＋m－2＝0有两根tanα，tanβ，∴解得m≤且m≠0.由一元二次方程的根与系数的关系得tanα＋tanβ＝，tanα·tanβ＝.∴tan(α＋β)＝＝＝＝－m≥－＝－.故tan(α＋β)的最小值为－.◎规律总结：数学问题解决的过程实质上是一个等价转化的过程，这一点务必引起高度重视．特别是综合题，条件的使用顺序和转化，以及知识之间的联系，在平时的训练中都要认真体会和总结．3．如下图，三个相同的正方形相接，试计算α＋β的大小．解析：本题的实质是已知tanα＝，tanβ＝，且α，β∈，求α＋β.可通过求tan(α＋β)及(α＋β)的范围来求得α＋β.由图可知：tanα＝，tanβ＝且α，β均为锐角．∴tan(α＋β)＝＝＝1.而α＋β∈(0，π)，在(0，π)上正切值等于1的角只有，∴α＋β＝.规律总结：已知三角函数值求角，分三步进行：①先求角α＋β的某一三角函数值；②确定角所在范围(或区间)；③求角的值．化简三角函数式的化简是三角变换应用的一个重要方面，其基本思想方法是统一角，统一三角函数的名称．在具体实施过程中，应着重抓住“角”的统一．通过观察角、函数名、项的次数等，找到突破口，利用切化弦、升幂、降幂、逆用公式等手段将其化简．最后结果要求：(1)能求值尽量求值；(2)三角函数名称尽量少；(3)项数尽量少；(4)次数尽量低；(5)分母、根号下尽量不含三角函数．化简：tan70°cos10°·(tan20°－1)．3分析：先化切为弦，再利用特殊角的特殊值进行转换．解析：tan70°cos10°·(tan20°－1)＝·cos10°·＝co...
