3.1.2.2求值、化简与证明A级：基础巩固练一、选择题1．若＝，则tan＝()A．－2B．2C．－D．答案C解析因为＝，所以＝，因为＝＝－tan＝，所以tan＝－.2．函数y＝sin＋sin的最小值为()A．B．－2C．－D．答案C解析因为y＝sin＋sin＝sin2xcos＋cos2xsin＋sin2xcos－cos2xsin＝sin2x，所以所求函数的最小值为－.3．已知向量a＝(cos75°，sin75°)，b＝(cos15°，sin15°)，那么|a－b|的值为()A．B．C．D．1答案D解析因为|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝2－2(cos75°cos15°＋sin75°sin15°)＝2－2cos(75°－15°)＝2－2cos60°＝1.所以|a－b|＝1.4．sin(65°－x)cos(x－20°)＋cos(65°－x)cos(110°－x)的值为()A．B．C．D．答案B解析原式＝sin(65°－x)cos(x－20°)－cos(65°－x)·sin(20°－x)＝sin(65°－x)·cos(x－20°)＋cos(65°－x)·sin(x－20°)＝sin[(65°－x)＋(x－20°)]＝sin45°＝.5．已知tanα和tan是方程ax2＋bx＋c＝0的两个根，则a，b，c的关系是()A．b＝a＋cB．2b＝a＋cC．c＝b＋aD．c＝ab答案C解析由韦达定理可知tanα＋tan＝－且tanαtan＝，∴tan＝tan＝＝1.∴－＝1－.∴－b＝a－C．∴c＝a＋B．故选C．二、填空题6．计算的值等于________．答案－解析原式＝＝＝－.7．已知13sinα＋5cosβ＝9,13cosα＋5sinβ＝15，则sin(α＋β)＝________.答案解析将条件平方并两式相加，得169＋25＋130(sinαcosβ＋cosαsinβ)＝81＋225，∴sin(α＋β)＝＝.8．已知tan＝，tan＝－，则tan的值等于________．答案解析tan＝tan＝＝＝.三、解答题9．已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求tanβ的值．解(1)因为tan(π＋α)＝－，所以tanα＝－，因为tan(α＋β)＝＝，所以tan(α＋β)＝＝.(2)因为tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝，所以tanβ＝＝.10．已知向量a＝(sinθ，－2)与b＝(1，cosθ)互相垂直，其中θ∈.(1)求sinθ和cosθ的值；(2)若sin(θ－φ)＝，0<φ<，求cosφ的值．解(1)∵a⊥b，∴a·b＝sinθ－2cosθ＝0，即sinθ＝2cosθ.解法一：∵sin2θ＋cos2θ＝1，∴4cos2θ＋cos2θ＝1，即cos2θ＝，∴sin2θ＝.又θ∈，∴sinθ＝，cosθ＝.解法二：由sinθ＝2cosθ可得tanθ＝2，又＝＝1＋tan2θ＝5，所以cos2θ＝，sin2θ＝1－cos2θ＝.又θ∈，所以sinθ＝，cosθ＝.(2)解法一：sin(θ－φ)＝sinθcosφ－cosθsinφ＝，将sinθ＝，cosθ＝代入上式，整理得2cosφ－sinφ＝，结合sin2φ＋cos2φ＝1,0<φ<，可得cosφ＝.解法二：由0<θ<，0<φ<可得－<θ－φ<，cos(θ－φ)＝＝＝，cosφ＝cos[θ－(θ－φ)]＝cosθcos(θ－φ)＋sinθsin(θ－φ)＝×＋×＝，∴cosφ＝.B级：能力提升练1．tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝________.答案1解析因为tan67°－tan22°＝tan(67°－22°)(1＋tan67°·tan22°)＝tan45°(1＋tan67°tan22°)＝1＋tan67°tan22°，所以tan67°－tan22°－tan67°tan22°＝1＋tan67°tan22°－tan67°tan22°＝1.2．是否存在锐角α和β，使(1)α＋2β＝；(2)tantanβ＝2－同时成立？若存在，求出α和β的值；若不存在，请说明理由．解假设存在锐角α和β，使题中的(1)(2)同时成立，则：若α＋2β＝，则＋β＝，∴tan＝＝.又∵tantanβ＝2－，∴tan＋tanβ＝3－，∴tan，tanβ是一元二次方程x2－(3－)x＋2－＝0的两根，∴x1＝1，x2＝2－.∵若tan＝1，但由于α是锐角，即0<<，故这是不可能的，∴tan＝2－，tanβ＝1.∵0<β<，∴β＝，α＝－2β＝.∴存在这样的锐角α＝，β＝.
