课时作业(二十一)平面向量数量积的物理背景及其含义A组基础巩固1．若|a|＝2，|b|＝4，向量a与向量b的夹角为120°，则向量a在向量b方向上的投影等于()A．－3B．－2C．2D．－1解析：a在b方向上的投影是|a|cosθ＝2×cos120°＝－1，故选D.答案：D2.已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且3a＋2b与λa－b垂直，则λ等于()A.B．－C．±D．1解析： (3a＋2b)·(λa－b)＝3λa2＋(2λ－3)a·b－2b2＝3λa2－2b2＝12λ－18＝0.∴λ＝，故选A.答案：A3．已知向量a，b满足a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则|2a－b|等于()A．0B．2C．4D．8解析：|2a－b|2＝(2a－b)2＝4|a|2－4a·b＋|b|2＝4×1－4×0＋4＝8，∴|2a－b|＝2，故选B.答案：B4.在边长为1的等边△ABC中，设BC＝a，CA＝b，AB＝c，则a·b＋b·c＋c·a等于()A．－B．0C.D．3解析：a·b＝BC·CA＝－CB·CA＝－|CB||CA|cos60°＝－.同理b·c＝－，c·a＝－，∴a·b＋b·c＋c·a＝－，故选A.答案：A5．若非零向量a，b满足|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋b2＝0，设a与b的夹角为θ，∴2|a||b|cosθ＋|b|2＝0.∴cosθ＝－＝－＝－，∴θ＝120°，故选C.答案：C6.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则向量a的模为()A．2B．4C．6D．12解析： a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，∴(a＋2b)·(a－3b)＝|a|2－6|b|2－a·b＝|a|2－2|a|－96＝－72.∴|a|＝6，故选C.答案：C7．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝|b|＝4，那么b·(2a＋b)的值为__________．解析：b·(2a＋b)＝2a·b＋|b|2＝2×4×4×cos120°＋42＝0.答案：08．给出下列结论：①若a≠0，a·b＝0，则b＝0；②若a·b＝b·c，则a＝c；③(a·b)c＝a(b·c)；④a·[b(a·c)－c(a·b)]＝0.其中正确结论的序号是__________．解析：因为两个非零向量a、b垂直时，a·b＝0，故①不正确；当a＝0，b⊥c时，a·b＝b·c＝0，但不能得出a＝c，故②不正确；向量(a·b)c与c共线，a(b·c)与a共线，故③不正确；④正确，a·[b(a·c)－c(a·b)]＝(a·b)(a·c)－(a·c)(a·b)＝0.答案：④9．设非零向量a、b、c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则〈a，b〉＝__________.解析： a＋b＝c，∴|c|2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2.又|a|＝|b|＝|c|，∴2a·b＝－b2，即2|a||b|cos〈a，b〉＝－|b|2.∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝120°.答案：120°10．设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角．解析： |n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°，1∴m·n＝|m||n|cos60°＝1×1×＝.|a|＝|2m＋n|＝＝＝＝，|b|＝|2n－3m|＝＝＝＝，a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝－6×1＋2×1＝－.设a与b的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－.又θ∈[0，π]，∴θ＝，故a与b的夹角为.B组能力提升11．在△ABC中，M是BC的中点，AM＝1，点P在AM上且满足AP＝2PM，则AP·(PB＋PC)等于()A.B.C．－D．－解析： AM＝1，且AP＝2PM，∴|AP|＝.如图，AP·(PB＋PC)＝AP·2PM＝AP·AP＝AP2＝2＝.答案：A12.设向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)⊥c，a⊥b，若|a|＝1，则|a|2＋|b|2＋|c|2的值是__________．解析：由a＋b＋c＝0，得(a＋b＋c)2＝0，a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝0.又 (a－b)⊥c，a⊥b，∴(a－b)·c＝0，a·b＝0，∴a·c＝b·c.∴a2＋b2＋c2＝－4b·c，b2＋c2＝－1－4b·c.①由a＋b＋c＝0，得b＋c＝－a，故(b＋c)2＝1，即b2＋c2＋2b·c＝1.②由①②得b·c＝－1，故a2＋b2＋c2＝4，即|a|2＋|b|2＋|c|2＝4.答案：413．已知a，b是两个非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取得最小值时，(1)求t的值(用a，b表示)；(2)求证：b与a＋tb垂直．解析：(1)|a＋tb|2＝a2＋t2b2＋2ta·b＝b22＋a2－.当t＝－时，|a＋tb|取最小值．(2)因为：(a＋tb)·b＝a·b＋tb2＝a·b－×b2＝0，所以a＋tb与b垂直．14．已知a，b均是非零向量，设a与b的夹角为θ，是否存在这样的θ，使|a＋b|＝|a－b|成立？若存在，求出θ的值；若不存在，请说明理由．解析：假设存在满足条件的θ， |a＋b|＝|a－b|，∴(a＋b)2＝3(a－b)2.∴|a|2＋2a·b＋|b|2＝3(|a|2－2a·b＋|b|...
