课时作业(二十三)平面向量应用举例A组基础巩固1．在△ABC中，已知A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，则BC边的中线AD的长是()A．2B.C．3D.解析：BC中点为D，AD＝，∴|AD|＝，故选B.答案：B2．两个大小相等的共点力F1，F2，当它们夹角为90°时，合力大小为20N，则当它们的夹角为120°时，合力大小为()A．40NB．10NC．20ND．10N解析：|F1|＝|F2|＝|F|cos45°＝10，当θ＝120°，由平行四边形法则知：|F合|＝|F1|＝|F2|＝10N，故选B.答案：B3．共点力F1＝(lg2，lg2)，F2＝(lg5，lg2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg5,1)，则共点力对物体做的功W为()A．lg2B．lg5C．1D．2解析： F1＋F2＝(1,2lg2)，∴W＝(F1＋F2)·s＝(1,2lg2)·(2lg5,1)＝2lg5＋2lg2＝2，故选D.答案：D4．已知点G是△ABC的重心，AG＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，若∠A＝120°，AB·AC＝－2，则|AG|的最小值是()A.B.C.D.解析：由向量加法的三角形法则及三角形重心的性质可得，AG＝AD＝(AB＋AC) ∠A＝120°，AB·AC＝－2，则根据向量的数量积的定义可得，AB·AC＝|AB||AC|cos120°＝－2设|AB|＝x，|AC|＝y∴|AB||AC|＝4即xy＝4.|AG|＝|AB＋AC|＝＝＝x2＋y2≥2xy＝8(当且仅当x＝y时取等号)∴|AG|≥即|AG|的最小值为.故选C.答案：C5．已知作用在点A的三个力f1＝(3,4)，f2＝(2，－5)，f3＝(3,1)且A(1,1)，则合力f＝f1＋f2＋f3的终点坐标为()A．(9,1)B．(1,9)C．(9,0)D．(0,9)解析：f＝f1＋f2＋f3＝(3,4)＋(2，－5)＋(3,1)＝(8,0)，设合力f的终点为P(x，y)，则OP＝OA＋f＝(1,1)＋(8,0)＝(9,1)，故选A.答案：A6．在△ABC中，AB·AC＝7，|AB－AC|＝6，则△ABC面积的最大值为()A．24B．16C．12D．8解析：设A、B、C所对边分别为a，b，c，由AB·AC＝7，|AB－AC|＝6，得bccosA＝7，a＝6①，S△ABC＝bcsinA＝bc＝bc＝，由余弦定理可得b2＋c2－2bccosA＝36②，由①②消掉cosA得b2＋c2＝50，所以b2＋c2≥2bc，所以bc≤25，当且仅当b＝c＝5时取等号，所以S△ABC＝≤12，1故△ABC的面积的最大值为12.故选C.答案：C7.若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB＋OC－2OA|，则△ABC的形状是()A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形解析： |OB－OC|＝|CB|＝|AB－AC|，|OB＋OC－2OA|＝|AB＋AC|，∴|AB－AC|＝|AB＋AC|，∴四边形ABDC是矩形，且∠BAC＝90°，∴△ABC是直角三角形，故选B.答案：B8．一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距5海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西30°方向上，另一灯塔在南偏西60°方向上，则该船的速度是________海里/小时．解析：根据题意得：AB＝5海里，∠ADC＝60°，∠BDC＝30°，DC⊥AC，∴∠DBC＝60°，∠BDA＝∠A＝30°，∴BD＝AB＝5海里， DC⊥AC，∴在Rt△BDC中，DC＝BD×sin∠DBC＝5×＝， 从C到D行驶了半小时，∴速度为÷＝10海里/小时．故答案为15.答案：159．设平面上有四个互异的点A、B、C、D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC的形状一定是__________．解析： (DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝[(DB－DA)＋(DC－DA)]·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝|AB|2－|AC|2＝0，∴|AB|＝|AC|，∴△ABC是等腰三角形．答案：等腰三角形10．已知向量a＝(2,0)，b＝(1,4)．(1)求|a＋b|的值；(2)若向量ka＋b与a＋2b平行，求k的值；(3)若向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，求k的取值范围．解析：(1)依题意得a＋b＝(3,4)，∴|a＋b|＝＝5.(2)依题意得ka＋b＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(4,8)， 向量ka＋b与a＋2b平行∴8×(2k＋1)－4×4＝0，解得k＝.(3)由(2)得ka＋b＝(2k＋1,4)，a＋2b＝(4,8) 向量ka＋b与a＋2b的夹角为锐角，∴4×(2k＋1)＋4×8>0，且8×(2k＋1)≠4×4∴k>－且k≠.B组能力提升11.已知非零向量AB与AC满足·BC＝0且·＝，则△ABC的形状是()A．三边均不相等的三角形B．直角三角形C．等腰(非等边)三角形D．等边三角形解析：由·BC＝0，得角A的平分线垂直于BC.∴AB＝AC，而·＝cos〈AB，AC〉＝，又〈AB，AC〉∈[0°，180°]，∴∠BAC＝60°，故△ABC为正三角形，故选D.答案：D12.已知点O，N，P在△ABC所在平面内，且|OA|＝|OB|＝|O...
