课时作业(十六)向量的减法运算及其几何意义A组基础巩固1．在如图四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC等于()A．a－b＋cB．b－(a＋c)C．a＋b＋cD．b－a＋c解析：DC＝－AD＋AB＋BC＝a－b＋c，故选A.答案：A2.化简OP－QP＋PS＋SP的结果等于()A.QPB.OQC.SPD.SQ解析：OP－QP＋PS＋SP＝OP＋PS＋SP－QP＝OP＋PQ＝OQ，故选B.答案：B3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()A.EF＝OF＋OEB.EF＝OF－OEC.EF＝－OF＋OED.EF＝－OF－OE解析：由向量减法的三角形法则可知EF＝OF－OE，故选B.答案：B4.在平行四边形ABCD中，|AB＋AD|＝|AB－AD|，则有()A.AD＝0B.AB＝0或AD＝0C．ABCD是矩形D．ABCD是菱形解析：AB＋AD与AB－AD分别是平行四边形ABCD的两条对角线，且|AB＋AD|＝|AB－AD|，∴ABCD是矩形，故选C.答案：C5．若|AB|＝5，|AC|＝8，则|BC|的取值范围是()A．[3,8]B．(3,8)C．[3,13]D．(3,13)解析：∵|BC|＝|AC－AB|且||AC|－|AB||≤|AC－AB|≤|AC|＋|AB|，∴3≤|AC－AB|≤13，∴3≤|BC|≤13，故选C.答案：C6.边长为1的正三角形ABC中，|AB－BC|的值为()A．1B．2C.D.解析：如图所示，延长CB到点D，使BD＝1，连结AD，则AB－BC＝AB＋CB＝AB＋BD＝AD.在△ABD中，AB＝BD＝1，∠ABD＝120°，易求AD＝，∴|AB－BC|＝.答案：D7．若O是△ABC内一点，OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的()A．垂心B．重心C．内心D．外心解析：由OA＋OB＋OC＝0，得OA＋OB＝－OC，而OA＋OB表示的是以OA、OB为邻边的平行四边形对角线所在的向量，结合图形易得．1答案：B8．如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝__________.解析：原式＝CA＋AD＋DA＝CA.答案：CA9．已知非零向量a，b满足|a|＝＋1，|b|＝－1，且|a－b|＝4，则|a＋b|＝__________.解析：如图所示，设OA＝a，OB＝b，则|BA|＝|a－b|.以OA与OB为邻边作平行四边形OACB，则|OC|＝|a＋b|.由于(＋1)2＋(－1)2＝42.故|OA|2＋|OB|2＝|BA|2，所以△OAB是∠AOB为90°的直角三角形，从而OA⊥OB，所以▱OACB是矩形，根据矩形的对角线相等有|OC|＝|BA|＝4，即|a＋b|＝4.答案：410．如图所示，O为△ABC的外心，H为垂心，求证：OH＝OA＋OB＋OC.证明：作直径BD，连接DA、DC，则OB＝－OD，DA⊥AB，AH⊥BC，CH⊥AB，CD⊥BC.∴CH∥DA，AH∥DC，故四边形AHCD是平行四边形．∴AH＝DC，又∵DC＝OC－OD＝OC＋OB，∴OH＝OA＋AH＝OA＋DC＝OA＋OB＋OC.B组能力提升11．已知|AB|＝6，|CD|＝9，则|AB－CD|的取值范围是__________．解析：∵||AB|－|CD||≤|AB－CD|≤|AB|＋|CD|，且|CD|＝9，|AB|＝6，∴3≤|AB－CD|≤15.当CD与AB同向时，|AB－CD|＝3；当CD与AB反向时，|AB－CD|＝15.∴|AB－CD|的取值范围为[3,15]．答案：[3,15]12．给出下列命题：①若OD＋OE＝OM，则OM－OE＝OD；②若OD＋OE＝OM，则OM＋DO＝OE；③若OD＋OE＝OM，则OD－EO＝OM；④若OD＋OE＝OM，则DO＋EO＝MO.其中所有正确命题的序号为________．解析：以OD、OE为邻边构造▱ODME，结合图形进行判断．答案：①②③④13．如图，已知正方形ABCD的边长等于1，AB＝a，BC＝b，AC＝c，试作向量并分别求模．2(1)a＋b＋c；(2)a－b＋c.解析：(1)由已知得a＋b＝AB＋BC＝AC，又AC＝c，∴延长AC到E.使|CE|＝|AC|.则a＋b＋c＝AE，且|AE|＝2.(2)作BF＝AC，连接CF，则DB＋BF＝DF，而DB＝AB－AD＝a－BC＝a－b，∴a－b＋c＝DB＋BF＝DF，且|DF|＝2.14．已知平面内四边形ABCD和点O，设OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝d，若a＋c＝b＋d，试判断四边形ABCD的形状．解析：∵a＋c＝b＋d，即OA＋OC＝OB＋OD，∴OA－OB＝OD－OC，即BA＝CD，∴BA∥CD且BA＝CD，故四边形ABCD是平行四边形．15.如图，在任意四边形ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点．求证：AB＋DC＝2EF.证明：根据平面向量的加法意义，得：EF＝EA＋AB＋BF，EF＝ED＋DC＋CF，又∵E，F分别为AD，BC中点，∴EA＋ED＝0，BF＋CF＝0；∴2EF＝(EA＋AB＋BF)＋(ED＋DC＋CF)＝(EA＋ED)＋(AB＋DC)＋(BF＋CF)＝AB＋DC，即2EF＝AB＋DC.3
