课时作业(十四)平面向量的实际背景及基本概念A组基础巩固1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③B．②③④C．①②⑤D．①③⑤解析：由零向量与单位向量的概念知①③⑤正确．答案：D2.下列说法正确的是()A．若|a|＞|b|，则a＞bB．若|a|＝|b|，则a＝bC．若a＝b，则a∥bD．若a≠b，则a、b不是共线向量解析：向量不能比较大小，所以A不正确；a＝b需满足两个条件；a、b同向且|a|＝|b|，所以B不正确；C正确；a、b是共线向量只需方向相同或相反，D不正确．答案：C3.已知向量a＝(3,4)，若|λa|＝5，则实数λ的值为()A.B．1C．±D．±1解析：∵a＝(3,4)，∴λa＝(3λ，4λ)，∴|λa|＝＝5，解得|λ|＝1，从而λ＝±1，故选D.答案：D4．已知A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等且方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是()A．CAB．A∩B＝{a}C．CBD．A∩B{a}解析：∵A∩B中还包含与a方向相反的向量，故B错．答案：B5.下列说法正确的是()A．有向线段AB与BA表示同一向量B．两个有公共终点的向量是平行向量C．零向量与单位向量是平行向量D．对任一向量a，是一个单位向量解析：向量AB与BA方向相反，不是同一向量；有公共终点的向量的方向不一定相同或相反；当a＝0时，无意义，故A、B、D错误．零向量与任何向量都是平行向量，C正确．答案：C6．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，对角线AC、BD交于点O，过O作MN∥AB，交AD于M，交BC于N，则在以A、B、C、D、M、O、N为起点和终点的向量中，相等向量有()A．1对B．2对C．3对D．4对解析：OM＝NO，MO＝ON.答案：B7.下列说法中错误的是()A．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段B．若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量C．长度相等但方向相反的两个向量不一定共线D．方向相反的两个非零向量必不相等解析：A项显然正确；由共线向量的概念知B项正确，C项不正确；由相等向量的概念可知D项正确，故选C.答案：C8.下列说法正确的是()A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线1B．长度相等的向量叫做相等向量C．零向量长度等于0D．共线向量是在一条直线上的向量解析：由零向量的定义知C正确．答案：C9.在四边形ABCD中，AB＝DC且|AB|＝|AD|，则四边形的形状为__________．解析：∵AB＝DC，∴AB∥DC，∴四边形ABCD是平行四边形．∵|AB|＝|AD|，∴四边形ABCD是菱形．答案：菱形10．如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，OC＝c.(1)与a的模相等的向量有多少个？(2)与a的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a共线的向量有哪些？解析：(1)与a的模相等的向量有23个．(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD，BC，AO，FE.(3)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.B组能力提升11．如图，四边形ABCD中，AB＝DC，则必有()A.AD＝CBB.OA＝OCC.AC＝DBD.DO＝OB解析：∵四边形ABCD中，AB＝DC，∴AB＝CD，AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，∴DO＝OB.答案：D12．如图，在圆O中，向量OB，OC，AO是()A．有相同起点的向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量解析：由图可知三向量方向不同，但长度相等．答案：C13．如图所示菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于O点，∠DAB＝60°，分别以A，B，C，D，O中的不同两点为始点与终点的向量中，(1)写出与DA平行的向量；(2)写出与DA模相等的向量．解析：由题图可知，(1)与DA平行的向量有AD，BC，CB；(2)与DA模相等的向量有AD，BC，CB，AB，BA，DC，CD，BD，DB.14．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，F，G分别是DB，EC的中点，求证：向量DE与FG共线．2证明：∵D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC，∴四边形DBCE是梯形．又∵F，G分别是DB，EC的中点，∴FG是梯形DBCE的中位线，∴FG∥DE.∴向量DE与FG共线．15.如图，半圆的直径AB＝6，C是半圆上的一点，D，E分别是AB，BC上的点，且AD＝1，BE＝4，DE＝3.(1)求证：向量AC∥DE；(2)求|AC|.(1)证明：由题意知，在△BED中，BD＝5，DE＝3，BE＝4，∴∠DEB＝90°.又点C为半圆上一点，则∠ACB＝90°.∴AC∥DE，故AC∥DE.(2)解析：由AC∥DE知△ABC∽△DBE.∴＝，即＝.∴AC＝，即|AC|＝.3
