课时作业(十八)平面向量基本定理A组基础巩固1．若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是()A．e1－e2，e2－e1B．2e1＋e2，e1＋e2C．2e2－3e1,6e1－4e2D．e1＋e2，e1－e2解析：显然向量e1＋e2，与向量e1－e2不共线，故选D.答案：D2．如图，在△OAB中，P为线段AB上的一点，OP＝xOA＋yOB，且BP＝3PA，则()A．x＝，y＝B．x＝，y＝C．x＝，y＝D．x＝，y＝解析： BP＝3PA，∴OP－OB＝3OA－3OP，即4OP＝3OA＋OB，即OP＝OA＋OB， OP＝xOA＋yOB，∴x＝，y＝，故选C.答案：C3．下面三种说法中，正确的是()①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面所有向量的基底；②一个平面内有无数多对不共线向量可作为该平面所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量．A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：只要平面内一对向量不共线，就可以做为该平面向量的一组基底，故①不正确，②正确；因为零向量与任意一个向量平行，所以③正确，故选B.答案：B4.若OP1＝a，OP2＝b，P1P＝λPP2(λ≠－1)，则OP等于()A．a＋λbB．λa＋(1－λ)bC．λa＋bD.a＋b解析： P1P＝λPP2，∴OP－OP1＝λ(OP2－OP)，∴(1＋λ)OP＝OP1＋λOP2，∴OP＝OP1＋OP2＝a＋b，故选D.答案：D5．如果e1、e2是平面α内两个不共线的向量，那么在下列各命题中不正确的有()①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数λ、μ有无数多对；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若实数λ、μ使λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A．①②B．②③C．③④D．②解析：由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.答案：B6.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且＝，连结CF并延长交AB于E，则等于()A.B.C.D.解析：设AB＝a，AC＝b，＝λ. ＝，∴CF＝CA＋AF＝CA＋AD＝(AB＋AC)－AC＝AB－AC＝a－b.CE＝CA＋AE＝CA＋AB＝AB－AC＝a－b.答案：D17．(2015·河北衡水中学高一调研)如图，在四边形ABCD中，DC＝AB，E为BC的中点，且AE＝xAB＋yAD，则3x－2y＝()A.B.C．1D．2解析：由题意，得AE＝AB＋BE＝AB＋BC＝AB＋(－AB＋AD＋DC)＝AB＋(－AB＋AD＋AB)＝AB＋AD. AE＝xAB＋yAD，∴xAB＋yAD＝AB＋AD. AB与AD不共线，∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1，故选B.答案：B8．设向量m＝2a－3b，n＝4a－2b，p＝3a＋2b，试用m，n表示p，p＝__________.解析：设p＝xm＋yn，则3a＋2b＝x(2a－3b)＋y(4a－2b)＝(2x＋4y)a＋(－3x－2y)b，得⇒答案：－m＋n9．在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC＝λAE＋μAF，其中λ、μ∈R，则λ＋μ＝__________.解析：设AB＝a，AD＝b，则AE＝a＋b，AF＝a＋b，又 AC＝a＋b，∴AC＝(AE＋AF)，即λ＝μ＝，∴λ＋μ＝.答案：10．如图所示，已知△AOB中，点C是以A为中点的点B的对称点，OD＝2DB，DC和OA交于点E，设OA＝a，OB＝b.(1)用a和b表示向量OC、DC；(2)若OE＝λOA，求实数λ的值．解析：(1)由题意，A是BC的中点，且OD＝OB，由平行四边形法则，OB＋OC＝2OA.∴OC＝2OA－OB＝2a－b，DC＝OC－OD＝(2a－b)－b＝2a－b.(2)EC∥DC.又 EC＝OC－OE＝(2a－b)－λa＝(2－λ)a－b，DC＝2a－b，∴＝，∴λ＝.B组能力提升11．AD与BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，且AD＝a，BE＝b，则BC＝()A.a＋bB.a＋bC.a－bD．－a＋b解析：设AD与BE交点为F，则AF＝a，BF＝b.由AB＋BF＋FA＝0，得AB＝(a－b)，所以BC＝2BD＝2(AD－AB)＝a＋b.答案：B12．D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的中点，且BC＝a，CA＝b，给出下列结论：①AD＝－a－b；②BE＝a＋b；③CF＝－a＋b；④EF＝a.其中正确结论的序号为__________．解析：如图，AD＝AC＋CD＝－b＋CB＝－b－a，①正确；2BE＝BC＋CE＝a＋b，②正确；AB＝AC＋CB＝－b－a，CF＝CA＋AB＝b＋(－b－a)＝b－a，③正确；...
