课时作业(十二)直线与平面垂直的判定A组基础巩固1.空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是()A．垂直且相交B．相交但不一定垂直C．垂直但不相交D．不垂直也不相交解析：取BD的中点E，连接AE，CE.可证BD⊥AE，BD⊥CE，而AE∩CE＝E，即得BD⊥平面AEC.得BD⊥AC.故选C.答案：C2．正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是()A．线段B1CB．线段BC1C．BB1中点与CC1中点连成的线段D．BC中点与B1C1中点连成的线段解析：如图，由于BD1⊥平面AB1C，故点P一定位于B1C上．答案：A3．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是菱形，PA⊥底面ABCD，M是棱PC上一点．若PA＝AC＝a，则当△MBD的面积为最小值时，直线AC与平面MBD所成的角为()A.B.C.D.解析：因为PA⊥底面ABCD，则PA⊥AC，又PA＝AC，∴∠PCA＝45°，因△PAB≌△PAD⇒PB＝PD，又△PBM≌△PDM⇒BM＝DM，设AC与BD交于0，则OM⊥BD，S△MCD＝BD·OM最小，只需OM最短，过O作OM′⊥PC，垂足为M′，连接M′B、M′A，此时直线AC与平面M′BD所成的角为∠CM′O＝.答案：B4．如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，则PD与平面ABCD所成的角为图中的()A．∠PADB．∠PDAC．∠PDBD．∠PDC解析： PA⊥平面ABCD，∴AD是PD在平面ABCD上的射影，故∠PDA是PD与平面ABCD所成的角．答案：B5．若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与平面α所成角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：设AB与平面α所成的角为θ，由题意可知cosθ＝，∴θ＝60°.1答案：C6．已知三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是三角形ABC的()A．外心B．内心C．垂心D．重心解析：如图， PA、PB、PC两两垂直，∴PA⊥平面PBC，∴PA⊥BC.又BC⊥PH，PA∩PH＝P，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥AH.同理AB⊥CH，AC⊥BH.∴点H为△ABC的垂心．答案：C7．如图，△ADB和△ADC都是以D为直角顶点的直角三角形，且AD＝BD＝CD，∠BAC＝60°，则直线AD⊥平面________；直线BD⊥平面________；直线CD⊥平面________．解析： △ADB、△ADC都是直角三角形，∴AD⊥BD，AD⊥DC，又BD∩DC＝D，∴AD⊥平面BDC.又AD＝BD＝CD，∴AB＝AC，又∠BAC＝60°，∴△ABC为正三角形，∴BC＝AB＝AC，∴∠BDC＝90°，由直线和平面垂直的判定定理，得BD⊥平面ADC，CD⊥平面ABD.答案：BDCADCABD8．在Rt△ABC中，D是斜边AB的中点，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，则ED＝________.解析：如图所示，在Rt△ABC中，CD＝AB. AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝10.∴CD＝5. EC⊥平面ABC，CD⊂平面ABC，∴EC⊥CD.∴ED＝＝＝13.答案：1329．如图所示：直角△ABC所在的平面外一点S，SA＝SB＝SC，点D为斜边AC的中点．则直线SD与平面ABC的位置关系为________．解析： SA＝SC，点D为斜边AC的中点，∴SD⊥AC.则在Rt△ABC中，AD＝DC＝BD，∴△ADS≌△BDS，∴SD⊥BD.又AC∩BD＝D，∴SD⊥平面ABC.答案：垂直10．如图，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PD⊥BC，PD＝1，PC＝.求证：PD⊥平面ABCD.证明： PD＝DC＝1，PC＝，∴PD2＋DC2＝PC2，∴△PDC是直角三角形．∴PD⊥CD.又 PD⊥BC，BC∩CD＝C，且BC⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PD⊥平面ABCD.B组能力提升11．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，A1D1的中点，求：(1)D1B与平面ABCD所成角的余弦值；(2)EF与平面A1B1C1D1所成的角．解析：(1)如图所示，连接DB， D1D⊥平面ABCD，∴DB是D1B在平面ABCD内的射影．则∠D1BD即为D1B与平面ABCD所成的角． DB＝AB，D1B＝AB，∴cos∠D1BD＝＝，即D1B与平面ABCD所成角的余弦值为.(2) E是A1A的中点，A1A⊥平面A1B1C1D1，∴∠EFA1是EF与平面A1B1C1D1所成的角．在Rt△EA1F中， F是A1D1的中点，∴∠EFA1＝45°.12．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠ADC＝45°，AD＝AC＝1，O为AC的中点，PO⊥平面ABCD，PO＝2，M为PD的中点．(1)证明：PB∥平面ACM；(2)证明：AD⊥平面PAC；(3)求直线AM与平面ABCD所成角的正切值．3解析：(1)证明：如图连接BD，MO.在平行四边形ABCD中， O为AC的中点，∴O为BD的中点，又M为PD的中点，∴PB∥M...
