章末综合测评(二)柯西不等式与排序不等式及其应用(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.设xy>0，则的最小值为()A.－9B.9C.10D.0【解析】≥x·＋·y2＝9.【答案】B2.设x，y，m，n均为正数，且＋＝1，则x＋y的最小值是()A.m＋nB.4mnC.(＋)2D.【解析】x＋y＝(x＋y)≥＝(＋)2，当且仅当nx2＝my2，＋＝1时，等号成立，故x＋y的最小值为(＋)2.【答案】C3.已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为()A.B.C.D.【解析】 4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，64－4e2≥64－16e＋e2，即5e2－16e≤0，∴e(5e－16)≤0.故0≤e≤.【答案】C4.学校要开运动会，需要买价格不同的奖品40件、50件、20件，现在选择商店中为5元、3元、2元的奖品，则至少要花钱数为()A.300元B.360元C.320元D.340元【解析】由排序原理，反序和最小.∴最小值为50×2＋40×3＋20×5＝320(元).【答案】C5.已知a，b，c为非零实数，则(a2＋b2＋c2)＋＋的最小值为()A.7B.9C.12D.18【解析】由(a2＋b2＋c2)≥a·＋b·＋c·2＝9，所以所求最小值为9.【答案】B6.设a，b，c均小于0，且a2＋b2＋c2＝3，则ab＋bc＋ca的最大值为()A.0B.1C.3D.【解析】由排序不等式a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，所以ab＋bc＋ca≤3.【答案】C7.若x＋2y＋4z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()A.21B.C.16D.【解析】 1＝x＋2y＋4z≤·，∴x2＋y2＋z2≥，即x2＋y2＋z2的最小值为.【答案】B8.函数f(x)＝＋cosx，则f(x)的最大值是()【导学号：38000052】A.B.C.1D.2【解析】f(x)＝·＋cosx.又(·＋cosx)2≤(2＋1)(sin2x＋cos2x)＝3，∴f(x)的最大值为.【答案】A9.已知半圆的直径AB＝2R，P是弧AB上一点，则2|PA|＋3|PB|的最大值是()A.RB.RC.2RD.4R【解析】由2|PA|＋3|PB|≤＝＝·2R.【答案】C10.已知a，b，x1，x2为互不相等的正数，y1＝，y2＝，则y1y2与x1x2的大小关系是()A.y1y2x1x2D.不确定【解析】要比较y1y2与x1x2的大小，就是要比较(ax1＋bx2)(ax2＋bx1)与(a＋b)2x1x2的大小，而(ax1＋bx2)·(ax2＋bx1)＝[()2＋()2]·[()2＋()2]≥(a＋b)2＝x1x2(a＋b)2.而a，b，x1，x2互不相等，所以等号不成立.【答案】C11.已知a＋b＋c＝1，且a，b为正数，则＋＋的最小值为()A.1B.3C.6D.9【解析】 a＋b＋c＝1，∴＋＋＝2(a＋b＋c)·＝[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]≥(1＋1＋1)2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时等号成立.【答案】D12.已知a，b，c为正数，P＝，Q＝abc，则P，Q的大小关系是()A.P＞QB.P≥QC.P＜QD.P≤Q【解析】不妨设a≥b≥c＞0，则0＜≤≤，0＜bc≤ca≤ab，由排序原理：顺序和≥乱序和，得＋＋≥＋＋，即≥a＋b＋c，即≥abc，所以P≥Q.【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在题中的横线上)13.设a≥b＞0，则a3＋b3与a2b＋ab2的大小关系是________.【解析】 a≥b＞0，∴a2≥b2＞0，因此a3＋b3≥a2b＋ab2(排序不等式).【答案】a3＋b3≥a2b＋ab214.已知a，b，x，y均为正数，且ab＝4，x＋y＝1，则(ax＋by)·(bx＋ay)的最小值为________.【解析】(ax＋by)(bx＋ay)≥(＋·)2＝[2(x＋y)]2＝4.【答案】415.如图1所示，矩形OPAQ中，a1≤a2，b1≤b2，则阴影部分的矩形的面积之和________空白部分的矩形的面积之和.【导学号：38000053】图1【解析】由题图可知，阴影面积＝a1b1＋a2b2，而空白面积＝a1b2＋a2b1，根据顺序和≥反序和可知答案为≥.【答案】≥16.已知x，y，z∈R，有下列不等式：(1)x2＋y2＋z2＋3≥2(x＋y＋z)；(2)≥；(3)|x＋y|≤|x－2|＋|y＋2|；(4)x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx.其中一定成立的不等式的序号是________.【解析】x2＋y2＋z2＋3＝(x2＋1)＋(y2＋1)＋(z2＋1)≥2x＋2y＋2z，故(1)正确；≥成立的前提是x≥0，y≥0，故(2)不正确；|x＋y|＝|(x－2)＋(y＋2)|≤|x－2|＋|y＋2|，故(3)正确；由排序不等式知x2＋y2＋z2≥xy＋yz＋zx，故(4)正确.【答案】(1)(3)(4)三、解答题(本大题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或...
