第2章平面向量[学生用书P115(单独成册)])[A基础达标]1．已知向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为()A．向量AC与向量AB一定同向B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线C．向量AC与向量BC一定相等D．以上说法都不正确解析：选B．根据共线向量的定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选B．2．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则EB＝()A．AB－ACB．AB－ACC．AB＋ACD．AB＋AC解析：选A．法一：如图所示，EB＝ED＋DB＝AD＋CB＝×(AB＋AC)＋(AB－AC)＝AB－AC，故选A．法二：EB＝AB－AE＝AB－AD＝AB－×(AB＋AC)＝AB－AC，故选A．3．已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝，则向量a与b的夹角为()A．30°B．45°C．60°D．以上都不对解析：选C．设向量a与b的夹角为θ，因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)，所以c2＝(a＋b)2，即|c|2＝|a|2＋|b|2＋2|a||b|cosθ，所以19＝4＋9＋12cosθ，所以cosθ＝，又0°≤θ≤180°，所以a与b的夹角为60°.4．已知平面向量a，b的夹角为，且|a|＝，|b|＝2，在△ABC中，AB＝2a＋2b，AC＝2a－6b，D为BC的中点，则|AD|等于()A．2B．4C．6D．8解析：选A．因为AD＝(AB＋AC)＝(2a＋2b＋2a－6b)＝2a－2b，所以|AD|2＝4(a－b)2＝4(a2－2b·a＋b2)＝4×＝4，则|AD|＝2.5．如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1.若点E为边CD上的动点，则AE·BE的最小值为()A．B．C．D．3解析：选A．以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D，设C(1，m)，E(x，y)，所以DC＝，AD＝，因为AD⊥CD，所以·＝0，即×＋＝0，解得m＝，即C(1，)，因为E在CD上，所以≤y≤，由kCE＝kCD，得＝，即x＝y－2，因为AE＝(x，y)，BE＝(x－1，y)，所以AE·BE＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因为函数f(y)＝4y2－5y＋6在上单调递减，在上单调递增，所以f(y)min＝4×－5×＋6＝.所以AE·BE的最小值为，故选A．6．已知平面向量a与b的夹角为60°，a＝(2，0)，|b|＝1，则|a＋2b|＝________．解析：由已知|a|＝2，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2＝4＋4×2×1×cos60°＋4＝12.所以|a＋2b|＝2.答案：27．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与AB方向相同的单位向量的坐标为________．解析：AB＝(3，－4)，所以与向量AB方向相同的单位向量n＝＝＝.答案：8．在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，M，N分别为CD，BC的中点，若AB＝λAM＋μAN，则λ＋μ＝________．解析：因为AB＝AN＋NB＝AN＋CN＝AN＋(CA＋AN)＝2AN＋CM＋MA＝2AN－AB－AM，所以AB＝AN－AM，所以λ＋μ＝.答案：9．已知向量a＝3e1－2e2，b＝4e1＋e2，其中e1＝(1，0)，e2＝(0，1)．求：(1)a·b和的值；(2)a与b夹角θ的余弦值．解：由已知，a＝(3，－2)，b＝(4，1)(1)a·b＝10；＝|(7，－1)|＝5.(2)cosθ＝＝.10．已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP3|＝1.求证：△P1P2P3是正三角形．证明：因为OP1＋OP2＋OP3＝0，所以OP1＋OP2＝－OP3，所以(OP1＋OP2)2＝(－OP3)2，所以|OP1|2＋|OP2|2＋2OP1·OP2＝|OP3|2，所以OP1·OP2＝－，又cos∠P1OP2＝＝－，所以∠P1OP2＝120°.所以|P1P2|＝|OP2－OP1|＝＝＝.同理可得|P2P3|＝|P3P1|＝.故△P1P2P3是等边三角形．[B能力提升]1．已知向量a＝(1，2)，b＝(1，0)，c＝(3，4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝________．解析：由于a＋λb＝(1＋λ，2)，故(a＋λb)∥c⇒4(1＋λ)－6＝0，解得λ＝.答案：2.如图，正六边形ABCDEF的边长为，则AC·DB＝________．解析：因为＝＝2·cos30°＝3，AC，DB夹角为120°，所以AC·DB＝3×3×cos120°＝－.答案：－3．如图，在△ABC中，CD＝2DB.(1)若AD＝xAB＋yBC(x、y为实数)，求x、y的值；(2)若AB＝3，AC＝4，∠BAC＝60°，求AD·BC的值．解：(1)因为CD＝2DB，所以AD－AC＝2(AB－AD)，所以AD＝AB＋AC.又因为AD＝xAB＋yBC＝(x－y)AB＋yAC，所以AB＋AC＝(x－y)AB＋yAC.因为AB与AC不共线，所以所以x＝1，y＝.(2)AD·BC＝·(AC－AB)＝AB...
