2.2.3待定系数法课时过关·能力提升1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点()A.(-2,-3)B.(3,2)C.(3,-2)D.(-3,-2)解析设反比例函数为f(x)=kx(k≠0),则3=k-2,k=-6,即f(x)=-6x,故其还经过点(3,-2).答案C2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点()A.(-1,-1)B.(1,-1)C.(1,1)D.(-1,1)解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1).答案C3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则()A.a=1,b=-4,c=11B.a=3,b=12,c=11C.a=3,b=-6,c=11D.a=3,b=-12,c=11解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0).因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上,所以11=4a-1,解得a=3.所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11.故a=3,b=-12,c=11.答案D4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为()A.1,2,3B.1,-2,-3C.1,-2,3D.1,2,-3解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6,∴{a+b+c=2,ab+bc+ca=-5,abc=-6,解得a=1,b=-2,c=3.答案C5设函数f(x)={x2+bx+c,x≤0,2,x>0,若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为()A.1B.2C.3D.4解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2,可得{1-b+c=c,4-2b+c=-2,解得{b=1,c=-4,故f(x)={x2+x-4,x≤0,2,x>0.令f(x)=x,解得x=2或x=-2.答案B6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=12OA,那么b的值为()A.-2B.-1C.-12D.12解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0).设f(x)=a(x-c)(x+2c),则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c,即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c.故{ac=b,-2ac2=c,即ac=-12,b=-12.答案C7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为.解析设一次函数为y=kx+b(k≠0),则有{5k+b=-2,3k+b=4,解得{k=-3,b=13.答案y=-3x+138如图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象,则该函数的解析式为.解析设二次函数为y=a(x+1)(x-3).∵点(0,-2)在图象上,∴-2=a(0+1)(0-3).∴a=23.∴y=23(x+1)(x-3)=23x2-43x-2.答案y=23x2-43x-29已知二次函数当x=4时有最小值-3,且它的图象与x轴的两交点间的距离为6,则这个二次函数的解析式为.解析由题意知,抛物线的对称轴为x=4,抛物线与x轴的两交点坐标是(1,0)与(7,0),如图所示.设二次函数的解析式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),由条件可得抛物线的顶点为(4,-3),且过点(1,0)和(7,0),将三个点的坐标代入,得{-3=16a+4b+c,0=a+b+c,0=49a+7b+c,解得{a=13,b=-83,c=73.故所求二次函数的解析式为f(x)=13x2-83x+73.答案f(x)=13x2-83x+7310抛物线经过点(2,-3),它与x轴交点的横坐标是-1和3.(1)求出抛物线的解析式.(2)用配方法求出抛物线的对称轴和顶点坐标.(3)画出草图.(4)观察图象,x取何值时,函数值y小于零?x取何值时,y随x的增大而减小?解(1)设抛物线的解析式为f(x)=a(x+1)(x-3)(a≠0).因为抛物线经过点(2,-3),所以-3=a(2+1)(2-3),解得a=1.故抛物线的解析式为f(x)=(x+1)(x-3)=x2-2x-3.(2)f(x)=x2-2x-3=(x-1)2-4.由此可知抛物线的对称轴为x=1,顶点坐标为(1,-4).(3)抛物线的草图如图所示.(4)由图象可知,当x∈(-1,3)时,函数值f(x)小于零;当x∈(-∞,1]时,f(x)随x的增大而减小.★11已知定义在[-6,6]上的奇函数f(x),在[0,3]上为一次函数,在[3,6]上为二次函数,且x∈[3,6]时,f(x)≤f(5)=3,f(6)=2,求f(x)的解析式.解当x∈[3,6]时,∵f(x)≤f(5)=3,∴设f(x)=a(x-5)2+3(a≠0).又f(6)=2,∴f(6)=a(6-5)2+3=2,解得a=-1.∴f(x)=-(x-5)2+3,x∈[3,6].∴f(3)=-(3-5)2+3=-1.故x∈[0,3]和x∈[3,6]时,f(x)的图象均过点(3,-1).∵当x∈[0,3]时,f(x)为一次函数,∴设f(x)=kx+b(k≠0).∵f(x)在[-6,6]上是奇函数,∴f(0)=0,∴b=0,即f(x)=kx(k≠0).将点(3,-1)代入,得-1=3k,即k=-13.故f(x)=-13x,x∈[0,3].因此,f(x)={-13x,x∈[0,3],-(x-5)2+3,x∈(3,6].又f(x)为奇函数,∴当x∈[-3,0]时,f(x)=-f(-x)=-13x.当x∈[-6,-3]时,f(x)=-f(-x)=(-x-5)2-3=(x+5)2-3.∴f(x)={x2+10x+22,x∈[-6,-3),-13x,x∈[-3,3],-x2+10x-22,x∈(3,6].★12已知直线AB过x轴上的一点A(2,0)且与抛物线y=ax2相交于点B(1,-1)与点C.(1)求直线和抛物线的解析式.(2)问抛物线上是否存在一点D,使S△OAD=S△OBC?若存在,求出点D坐标;若不存在,请说明理由.解(1)设直线的解析式为y=kx+b.∵直线过点A(2,0),B(1,-1),∴{2k+b=0,k+b=-1,解得k=1,b=-2,∴直线的解析式为y=x-2.又抛物线y=ax2过点B(1,-1),∴a=-1,∴抛物线的解析式为y=-x2.(2)直线与抛物线相交于B,C两点,故{y=x-2,y=-x2,解得B,C两点坐标为B(1,-1),C(-2,-4),由图可知,S△OBC=S△OAC-S△OAB=12×|-4|×2-12×|-1|×2=3.假设抛物线上存在一点D,使S△OAD=S△OBC,设D(m,-m2),可得S△OAD=12×2×m2=m2,即m2=3,故m=❑√3或m=-❑√3,即存在这样的点D(❑√3,-3)或D(-❑√3,-3)满足题意.
