第1章解三角形章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知△ABC中，a＝，b＝，B＝60°，那么角A等于()A．135°B．90°C．45°D．30°解析：选C.由正弦定理＝⇒＝，则sinA＝sinB＝.因为a1，所以角B不存在，故选A.7．如图，在△ABC中，点D在AC上，AB⊥BD，BC＝3，BD＝5，sin∠ABC＝，则CD＝()A.B．4C．2D．5解析：选B.sin∠ABC＝sin(90°＋∠DBC)＝cos∠DBC＝，由余弦定理及已知条件，得CD2＝52＋(3)2－2×5×3×＝16，所以CD＝4.故选B.8．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若A＋C＝2B，a＝1，b＝，则S△ABC等于()A.B.C.D．2解析：选C.由A＋C＝2B，解得B＝.由余弦定理得()2＝1＋c2－2ccos，解得c＝2或c＝－1(舍去)．于是，S△ABC＝acsinB＝×1×2sin＝.9．已知三角形三边之比为5∶7∶8，则最大角与最小角的和为()A．90°B．120°C．135°D．150°解析：选B.设最小边为5，则三角形的三边分别为5，7，8，设边长为7的边对应的角为θ，则由余弦定理可得49＝25＋64－80cosθ，解得cosθ＝，所以θ＝60°.则最大角与最小角的和为180°－60°＝120°.10．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，如果2b＝a＋c，B＝30°，△ABC的面积为，那么b的值为()A．1＋B．3＋C.D．2＋解析：选C.因为S△ABC＝acsinB＝acsin30°＝，所以ac＝2.由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－ac＝(2b)2－4－2，所以3b2＝4＋2，于是b＝＝(b＝－舍去)，故选C.11．已知△ABC的外接圆半径为R，且2R(sin2A－sin2C)＝(a－b)sinB(其中a，b分别为A，B的对边)，那么角C的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选B.根据正弦定理，原式可化为2R＝(a－b)·，所以a2－c2＝(a－b)b，所以a2＋b2－c2＝ab，所以cosC＝＝.又因为C∈(0°，180°)，所以C＝45°.12．甲船在B岛正南方向的A处，AB＝10km，若甲船以4km/h的速度向正北方向航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是()A.hB.hC.hD.h解析：选B.设航行xh时，甲船在P处，乙船在Q处，甲、乙两船相距skm，如图所示，在△BPQ中，由余弦定理，知PQ2＝BP2＋BQ2－2BP·BQ·cos120°，即s2＝(10－4x)2＋(6x)2－2(10－4x)·6x·＝28x2－20x＋100，所以当x＝时，s2最小，即s最小，故选B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分．13．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC＝________．解析：由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC，即13＝AC2＋9－2AC×3×cos120°，化简得AC2＋3AC－4＝0，解得AC＝1或AC＝－4(舍去)．故选A.答案：114．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，则角C＝__________．解析：由已知条件和正弦定理得：3a＝5b，且b＋c＝2a，则a＝，c＝2a－b＝，cosC＝＝－，又0
