第1课时辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1．辗转相除法可解决的问题是()A．求两个正整数的最大公约数B．多项式求值C．求两个正整数的最小公倍数D．排序问题[解析]辗转相除法可以求两个正整数的最大公约数.[答案]A2．用辗转相除法求72与120的最大公约数时，需要做除法次数为()A．4B．3C．5D．6[解析]120＝72×1＋48,72＝48×1＋24,48＝24×2.[答案]B3．用更相减损术求36与134的最大公约数，第一步应为________．[解析]∵36与134都是偶数，∴第一步应先除以2，得到18与67.[答案]先分别除以2，得到18与674．用秦九韶算法求f(x)＝2x3＋x－3当x＝3时的值v2＝________.[解析]f(x)＝((2x＋0)x＋1)x－3，v0＝2，v1＝2×3＋0＝6，v2＝6×3＋1＝19.[答案]195．用秦九韶算法求多项式f(x)＝8x7＋5x6＋3x4＋2x＋1，当x＝2时的值．[解]根据秦九韶算法，把多项式改写成如下形式：f(x)＝8x7＋5x6＋0·x5＋3·x4＋0·x3＋0·x2＋2x＋1＝((((((8x＋5)x＋0)x＋3)x＋0)x＋0)x＋2)x＋1.而x＝2，所以有v0＝8，v1＝8×2＋5＝21，v2＝21×2＋0＝42，v3＝42×2＋3＝87，v4＝87×2＋0＝174，v5＝174×2＋0＝348，v6＝348×2＋2＝698，v7＝698×2＋1＝1397.所以当x＝2时，多项式的值为1397.算法案例在实际生活中的应用通过算法案例的学习，知道算法的核心是一般意义上的解决问题的策略的具体化．对于一个实际问题，我们在分析、思考后可将之转化为数学问题，从而获得解决它的基本思路.【典例】现有长度为2.4m和5.6m两种规格的钢筋若干，要焊接一批棱上无接点的正方体模型，问怎样设计才能保证正方体的体积最大且不浪费材料？[思路导引]要焊接正方体，就是将两种规格的钢筋截成长度相等的钢筋条．为了保证不浪费材料，应使得每种规格的钢筋截取后没有剩余，因此截取的长度应为2.4与5.6的公约数；为使得正方体的体积最大，因此截取的长度应为2.4与5.6的最大公约数.[解]用更相减损术来求2.4与5.6的最大公约数：5．6－2.4＝3.2,3．2－2.4＝0.8,2．4－0.8＝1.6,1．6－0.8＝0.8,因此2.4与5.6的最大公约数为0.8.所以使得正方体的棱长为0.8m时，正方体的体积最大且不浪费材料.[针对训练]甲，乙，丙三种溶液的质量分别为147g，343g，133g，现要将它们分别全部装入小瓶中，每个小瓶中装入溶液的质量相同，问每瓶最多装多少？[解]由题意，每个小瓶中装入的溶液的质量应是三种溶液质量的最大公约数．先求147与343的最大公约数：343－147＝196,196－147＝49,147－49＝98,98－49＝49，所以147与343的最大公约数是49.再求49与133的最大公约数：133－49＝84,84－49＝35,49－35＝14,35－14＝21,21－14＝7,14－7＝7，所以147,343,133的最大公约数为7，即每瓶最多装7g.
