直线与平面平行的判定(答题时间:40分钟)*1.若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是()A.α内的所有直线与a异面B.α内的直线与a都相交C.α内存在唯一的直线与a平行D.α内不存在与a平行的直线*2.长方体ABCD-A1B1C1D1中,E为AA1的中点,F为BB1的中点,与EF平行的长方体的面有________个。**3.(天津二模)如图所示,四棱锥P-ABCD的底面是一直角梯形,AB∥CD,BA⊥AD,CD=2AB,PA⊥底面ABCD,E为PC的中点,则BE与平面PAD的位置关系是________。**4.(泰州检测)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为DD1的中点,则BD1与过点A、C、E的平面的位置关系是________。**5.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分别是棱C1C、C1D1、D1D、DC的中点,点M在四边形EFGH及其内部运动,则M只需满足条件________时,就有MN∥平面B1BDD1,其中N是BC的中点。(填上一个正确的条件即可,不必考虑全部可能的情况)*6.如图,长方体ABCD-A1B1C1D1中,与BC平行的平面是________;与BC1平行的平面是________;与平面A1C1和平面A1B都平行的棱是________。**7.空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。求证:(1)EH∥平面BCD;(2)BD∥平面EFGH。***8.正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB,在AE、BD上各有一点P、Q,且AP=DQ。求证:PQ∥平面BCE。***9.如图所示的几何体中,△ABC是任意三角形,AE∥CD,且AE=AB=2a,CD=a,问在线段BE是否存在点F,使得DF∥平面ABC?若存在指出F的位置,不存在说明理由。1.D解析:如图,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交。例如,直线A′B与平面ABCD相交,直线AB、CD在平面ABCD内,直线AB与直线A′B相交,直线CD与直线A′B异面,所以A、B都不正确;平面ABCD内不存在与a平行的直线,所以应选D。2.3解析:∵EF∥A1B1,∴EF∥平面A1B1C1D1;同理EF∥平面ABCD,EF∥平面DD1C1C。3.平行解析:取PD的中点F,连接EF、AF。在△PCD中,EF∥CD,又∵AB∥CD,且CD=2AB,∴EF∥AB,∴四边形ABEF为平行四边形,∴EB∥AF。又∵EB⊄平面PAD,AF⊂平面PAD,∴BE∥平面PAD。4.平行解析:连接BD交AC于O,连接OE,则OE∥BD1,又OE⊂平面ACE,BD1⊄平面ACE。∴BD1∥平面ACE。5.M与H重合(答案不唯一,又如M∈FH)解析:∵H、N分别是CD和CB的中点,连接HN、BD,易知BD∥HN。又BD⊂平面B1BDD1,HN⊄平面B1BDD1,故HN∥平面B1BDD1,故不妨取M点与H点重合便符合题意。6.平面A1C1与平面AD1平面AD1DC解析:观察图形,根据判定定理可知,与BC平行的平面是平面A1C1与平面AD1;与BC1平行的平面是平面AD1;由于平面A1C1与平面A1B的交线是A1B1,所以与其都平行的棱是DC。7.解:证明:(1)∵EH为△ABD的中位线,∴EH∥BD。∵EH⊄平面BCD,BD⊂平面BCD,∴EH∥平面BCD。(2)∵BD∥EH,BD⊄平面EFGH,EH⊂平面EFGH,∴BD∥平面EFGH。8.证明:方法一如图所示。作PM∥AB交BE于M,作QN∥AB交BC于N,连接MN。∵正方形ABCD和正方形ABEF有公共边AB,∴AE=BD。又AP=DQ,∴PE=QB,又PM∥AB∥QN,∴,∴,∴PM∥QN,即四边形PMNQ为平行四边形,∴PQ∥MN。又MN⊂平面BCE,PQ⊄平面BCE,∴PQ∥平面BCE。方法二如图,连接AQ并延长交BC延长线于K,连接EK,∵AE=BD,AP=DQ,∴PE=BQ,∴,又AD∥BK,∴,∴,∴PQ∥EK。又PQ⊄平面BCE,EK⊂平面BCE,∴PQ∥平面BCE。9.证明:如图所示,取线段BE的中点F,AB的中点G,连接FG、CG,∵F、G分别是BE、AB的中点,∴FG∥AE,FG=AE,又∵AE=2a,CD=a,∴CD=AE,而AE∥CD,∴CD∥FG,CD=FG,∴四边形CDFG为平行四边形,∴DF∥CG,又CG⊂平面ABC,DF⊄平面ABC,∴DF∥平面ABC。故当F为线段BE的中点时,DF∥平面ABC。