1.2.4第二课时两平面垂直[学业水平训练]1.已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，如图所示，图中互相垂直的平面有________对．解析： DA⊥AB，DA⊥PA，AB∩PA＝A，∴DA⊥平面PAB，同理BC⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，DC⊥平面PAD，∴平面AC⊥平面PAD，平面AC⊥平面PAB，平面PBC⊥平面PAB，平面PDC⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PAD，共5对．答案：52.如图，四面体P-ABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________.解析：取AB的中点E，连结PE，PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC，连结CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2，PE＝＝，CE＝＝，PC＝＝7.答案：73．若P是△ABC所在平面外一点，而△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，那么二面角P-BC-A的大小为________．解析：取BC的中点O，连结OA，OP(图略)，则∠POA为二面角P-BC-A的平面角，OP＝OA＝，PA＝，所以△POA为直角三角形，∠POA＝90°.答案：90°4.如图所示，检查工件的相邻两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边紧靠在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动，观察尺边是否和这个面密合就可以了，其原理是________________．解析：如图：因为OA⊥OB，OA⊥OC，OB⊂β，OC⊂β且OB∩OC＝O，根据线面垂直的判定定理，可得OA⊥β，又OA⊂α，根据面面垂直的判定定理，可得α⊥β.答案：面面垂直的判定定理5.平面四边形ABCD，其中AB＝AD＝1，BC＝CD＝，AB⊥AD，沿BD将△ABD折起，使得AC＝1，则二面角A-BD-C的平面角的正弦值为________．解析：取BD中点E，连结AE，CE. AB＝AD，BC＝CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD，∴∠AEC为二面角A-BD-C的平面角．△DAB中，AB＝AD＝1，AB⊥AD，∴AE＝.△BCD中，BC＝CD＝，BD＝，∴CE＝.又AC＝1，∴△AEC中，AE2＋AC2＝CE2，∠EAC＝90°.∴sin∠AEC＝＝＝.答案：6．如图，把边长为a的正三角形ABC沿高线AD折成60°的二面角，这时顶点A到BC的距离是________．解析：在翻折后的图形中，∠BDC为二面角B－AD－C的平面角，即∠BDC＝60°，AD⊥平面BDC.过D作DE⊥BC于E，连结AE，则E为BC的中点，且AE⊥BC，所以AE即为点A到BC的距离．易知，AD＝a，△BCD是边长为的等边三角形，所以DE＝a，AE＝＝a.答案：a7．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，直线SC⊥平面ABCD，E是SA的中点，求证：平面EDB⊥平面ABCD.证明：连结AC，交BD于点F，连结EF，∴EF是△SAC的中位线，∴EF∥SC. SC⊥平面ABCD，∴EF⊥平面ABCD.又EF⊂平面EDB，∴平面EDB⊥平面ABCD.8.如图：三棱锥P-ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求证：平面PAB⊥平面PBC.证明： 平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC.又 AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB⊂平面PAB，PA⊂平面PAB.∴BC⊥平面PAB.又BC⊂平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.[高考水平训练]1．如图所示，沿直角三角形ABC的中位线DE将平面ADE折起，使得平面ADE⊥平面BCDE，得到四棱锥A-BCDE.则平面ABC与平面ACD的关系是________．解析： AD⊥DE，平面ADE⊥平面BCDE，且平面ADE∩平面BCDE＝DE，∴AD⊥平面BCDE.又BC⊂平面BCDE，∴AD⊥BC.又BC⊥CD，CD∩AD＝D，∴BC⊥平面ACD，又BC⊂平面ABC，∴平面ABC⊥平面ACD.答案：垂直2.如图，二面角α-l-β的大小是60°，线段AB⊂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________．解析：如图，过点A作AC⊥l，垂足为C，AD⊥β，垂足为D，连结CD、BD.由题意知∠ACD＝60°，∠ABC＝30°，∠ABD即为AB与平面β所成的角．设AC＝a，则AB＝2a，AD＝a，∴sin∠ABD＝＝.答案：3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.证明：(1)过点A作AM⊥DE于点M，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点，取BC中点N，连结MN，AN，则MN⊥BC.又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又 N是BC的中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连结AN， AB＝AC，...
