1.2.1圆的切线(建议用时：40分钟)[学业达标]一、选择题(每小题5分，共20分)1.如图1211，PA切⊙O于A，PO交⊙O于B，若PA＝6，PB＝4，则⊙O的半径是()图1211A.B.C.2D.5【解析】令OA＝OB＝r，∵PA切⊙O于点A，∴PA2＋OA2＝OP2，即62＋r2＝(r＋4)2.解得r＝.【答案】A2.如图1212，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB＝2，半圆O的半径为2，则BC的长为()图1212A.2B.1C.1.5D.0.5【解析】如图，连接OD.∵AD切⊙O于D，∴OD⊥AD.又∵BC⊥AD，∴OD∥BC，∴△DOA∽△CBA，∴＝.即＝，∴BC＝1.【答案】B3.如图1213所示，⊙O是正△ABC的内切圆，切点分别为E、F、G，点P是弧EG上的任意一点，则∠EPF＝()图1213A.120°B.90°C.60°D.30°【解析】如图所示，连接OE、OF.∵OE⊥AB，OF⊥BC，∴∠BEO＝∠BFO＝90°.∴∠EOF＋∠ABC＝180°.∴∠EOF＝120°.∴∠EPF＝∠EOF＝60°.【答案】C4.如图1214所示，AC切⊙O于D，AO的延长线交⊙O于B，且AB⊥BC，若AD∶AC＝1∶2，则AO∶OB＝()图1214A.2∶1B.1∶1C.1∶2D.1∶1.5【解析】如图所示，连接OD、OC，则OD⊥AC.∵AB⊥BC，∴∠ODC＝∠OBC＝90°.∵OB＝OD，OC＝OD，∴△CDO≌△CBO.∴BC＝DC.∵＝，∴AD＝DC.∴BC＝AC.又OB⊥BC，∴∠A＝30°，∴OB＝OD＝AO.∴＝.【答案】A二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1215所示，点P在⊙O的直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切⊙O于点C，CD⊥AB于点D，则CD＝________.图1215【解析】如图所示，连接OC.在直角三角形中，由射影定理，得OC2＝OD·OP，∴OD＝＝1.∴PD＝3.∵CD2＝OD·PD，∴CD2＝3.∴CD＝.【答案】6.如图1216，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，BC＝12，⊙O分别与边AB、AC相切，切点分别为E、C.则⊙O的半径是________.图1216【解析】连接OE，设OE＝r，∵OC＝OE＝r，BC＝12，则BO＝12－r，AB＝＝13，由△BEO∽△BCA，得＝，即＝，解得r＝.【答案】三、解答题(每小题10分，共30分)7.如图1217，AB是⊙O的直径，∠BAC＝30°，M是OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF＝∠E.图1217求证：CF是⊙O的切线.【证明】如图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∵∠BAC＝30°，∴∠ABC＝60°，又∵OB＝OC.∴∠OCB＝∠OBC＝60°，在Rt△EMB中，∵∠E＋∠MBE＝90°，∴∠E＝30°.∵∠E＝∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴∠ECF＋∠OCB＝90°.又∵∠ECF＋∠OCB＋∠OCF＝180°，∴∠OCF＝90°.∴CF为⊙O的切线.8.如图1218，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，弦CD⊥AB于E，∠POC＝∠PCE.图1218(1)求证：PC是⊙O的切线；(2)若OE∶EA＝1∶2，PA＝6，求⊙O半径.【解】(1)证明：在△OCP与△CEP中，∵∠POC＝∠PCE，∠OPC＝∠CPE，∴∠OCP＝∠CEP.∵CD⊥AB，∴∠CEP＝90°，∴∠OCP＝90°.又C点在圆上，∴PC是⊙O的切线.(2)法一设OE＝x，则EA＝2x，OC＝OA＝3x.∵∠COE＝∠AOC，∠OEC＝∠OCP＝90°，∴△OCE∽△OPC，∴＝.即(3x)2＝x(3x＋6)，∴x＝1，∴OA＝3x＝3，即圆的半径为3.法二由(1)知PC是⊙O的切线，∴∠OCP＝90°.又∵CD⊥OP，由射影定理知OC2＝OE·OP，以下同法一.[能力提升]9.如图1219，AD是⊙O的直径，BC切⊙O于点D，AB、AC与圆分别相交于点E、F.图1219(1)AE·AB与AF·AC有何关系？请给予证明；(2)在图中，如果把直线BC向上或向下平移，得到图(1)或图(2)，在此条件下，(1)题的结论是否仍成立？为什么？【解】(1)AE·AB＝AF·AC.证明：连接DE.∵AD为⊙O的直径，∴∠DEA＝90°.又∵BC与⊙O相切于点D，∴AD⊥BC，即∠ADB＝90°，∴∠ADB＝∠DEA.又∵∠BAD＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴＝，即AD2＝AB·AE.同理AD2＝AF·AC，∴AE·AB＝AF·AC.(2)(1)中的结论仍成立.因为BC在平移时始终与AD垂直，设垂足为D′，则∠AD′B＝90°.∵AD为圆的直径，∴∠AED＝∠AD′B＝90°.又∵∠DAE＝∠BAD′.∴△ABD′∽△ADE.∴＝，∴AB·AE＝AD·AD′.同理AF·AC＝AD·AD′，故AE·AB＝AF·AC.
