1.1.4锐角三角函数与射影定理(建议用时：40分钟)[学业达标](时间40分钟，满分60分)1.△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AD＝3，BD＝2，则AC∶BC的值是()A.3∶2B.9∶4C.∶D.∶【解析】如图，在Rt△ACB中，CD⊥AB，由射影定理知AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，又∵AD＝3，BD＝2，∴AB＝AD＋BD＝5，∴AC2＝3×5＝15，BC2＝2×5＝10.∴＝＝，即AC∶BC＝∶，故选C.【答案】C2.在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，若BD∶AD＝1∶4，则tan∠BCD的值是()A.B.C.D.2【解析】如图，由射影定理得CD2＝AD·BD，又∵BD∶AD＝1∶4，令BD＝x，则AD＝4x(x>0).∴CD2＝AD·BD＝4x2，∴CD＝2x，在Rt△CDB中，tan∠BCD＝＝＝.【答案】C3.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若＝，则等于()A.B.C.D.【解析】如图，由射影定理，得AC2＝CD·BC，AB2＝BD·BC，∴＝＝()2，即＝，∴＝.【答案】C4.在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D.若BC＝m，∠B＝α，则AD长为()A.msin2αB.mcos2αC.msinαcosαD.msinαtanα【解析】由射影定理得，AB2＝BD·BC，AC2＝CD·BC，即m2cos2α＝BD·m，m2sin2α＝CD·m，即BD＝mcos2α，CD＝msin2α，又∵AD2＝BD·DC＝m2cos2αsin2α，∴AD＝mcosαsinα.故选C.【答案】C二、填空题(每小题5分，共10分)5.如图1163，在矩形ABCD中，AE⊥BD，OF⊥AB.DE∶EB＝1∶3，OF＝a，则对角线BD的长为________.图1163【解析】∵OF＝a，∴AD＝2a，∵AE⊥BD，∴AD2＝DE·BD.∵DE∶EB＝1∶3，∴DE＝BD，∴AD2＝BD·BD.∴BD2＝4AD2＝4×4a2＝16a2，∴BD＝4a.【答案】4a6.Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，AC＝12cm，BC＝15cm，则S△ACD∶S△BCD＝________.【解析】∵∠ACB＝90°，CD是高，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB，∴AD∶BD＝AC2∶BC2.又∵S△ACD＝·AD·CD.S△BCD＝·BD·CD，∴S△ACD∶S△BCD＝AD∶BD＝AC2∶BC2.又∵AC＝12，BC＝15，∴S△ACD∶S△BCD＝144∶225＝16∶25.【答案】16∶25三、解答题(每小题10分，共30分)7.已知直角三角形周长为48cm，一锐角平分线分对边为3∶5两部分.(1)求直角三角形的三边长；(2)求两直角边在斜边上的射影的长.【解】(1)如图，设CD＝3x，BD＝5x，则BC＝8x，过D作DE⊥AB，由题意可得，DE＝3x，BE＝4x，∴AE＋AC＋12x＝48.又AE＝AC，∴AC＝24－6x，AB＝24－2x，∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2，解得：x1＝0(舍去)，x2＝2，∴AB＝20，AC＝12，BC＝16，∴三边长分别为：20cm，12cm，16cm.(2)作CF⊥AB于F，∴AC2＝AF·AB，∴AF＝＝＝(cm)；同理：BF＝＝＝(cm).∴两直角边在斜边上的射影长分别为cm，cm.8.如图1164，Rt△ABC中有正方形DEFG，点D、G分别在AB、AC上，E、F在斜边BC上，求证：EF2＝BE·FC.【导学号：61650009】图1164【证明】如图，过点A作AH⊥BC于H.∴DE∥AH∥GF.∴＝，＝.∵＝.又∵AH2＝BH·CH，∴DE·GF＝BE·FC.而DE＝GF＝EF.∴EF2＝BE·FC.[能力提升]9.如图1165，已知：BD，CE是△ABC的两条高，过点D的直线交BC和BA的延长线于G、H，交CE于F，且∠H＝∠BCF，求证：GD2＝GF·GH.图1165【证明】∵∠H＝∠BCE，∠EBC＝∠GBH，∴△BCE∽△BHG，∴∠BEC＝∠BGH＝90°，∴HG⊥BC.∵BD⊥AC，在Rt△BCD中，由射影定理得，GD2＝BG·CG.①∵∠FGC＝∠BGH＝90°，∠GCF＝∠H，∴△FCG∽△BHG，∴＝，∴BG·GC＝GH·FG.②由①②得，GD2＝GH·FG.
