高中数学第1章三角函数1.3.1三角函数的周期性课堂导学苏教版必修4三点剖析1.周期函数与周期的意义【例1】求下列三角函数的周期.（1）y=sin(x+);（2）y=3sin(+).思路分析：运用周期函数的定义即可.解：（1）令z=x+,而sin(2π+z)=sinz,即f(2π+z)=f(z),f［(2π+x)+］=f(x+).∴周期T=2π.(2)令z=+,则f(x)=3sinz=3sin(z+2π)=3sin(++2π)=3sin()=f(x+4π).∴T=4π.温馨提示理解好周期函数与周期的意义.对定义中的任意一个x满足f(x+T)=f(x),而非某一个x值.也可用公式T=求周期.2.判断函数是否具有周期性和求周期【例2】求证：（1）y=cos2x+sin2x的周期为π;(2)y=|sinx|+|cosx|的周期为.思路分析：观察特征，运用定义.证明：（1）f(x+π)=cos2(x+π)+sin2(x+π)=cos(2π+2x)+sin(2π+2x)=cos2x+sin2x=f(x),∴y=cos2x+sin2x的周期是π.(2)f(x+)=|sin(x+)|+|cos(x+)|=|cosx|+|-sinx|=|sinx|+|cosx|=f(x),∴y=|sinx|+|cosx|的周期是.温馨提示“f(x+T)=f(x)”是定义域内的恒等式，即对定义域内的每一个值都成立.可以用上式验证一个量是否是一个函数的周期.3.判断函数是否具有周期性1【例3】证明y=sin|x|不是周期函数.思路分析：运用定义进行证明.证明：假设y=sin|x|是周期函数，且周期为T，则sin|x+T|=sin|x|(x∈R).(1)当T≥时，令x=,得sin|+T|=sin||sin(+T)=sincosT=1;令x=-,得sin|-+T|=sin|-|sin(-+T)=sin-cosT=1cosT=-1.由此得1=-1,这一矛盾说明T≥不可能.(2)当T≤-时,令x=x′-T得,sin|x′-T+T|=sin|x′-T|sin|x′-T|=sin|x′|,即-T是函数的周期.但-T≥,由(1)知这是不可能的.(3)当-＜T＜时,令x=0得,sin|T|=sin|0|sinT=0T=0(周期不为零).由此可知原函数无周期,故y=sin|x|不是周期函数.温馨提示进一步理解定义,①存在一个常数T≠0;②当x取定义域内每一个值时(而不是某一个),都有f(x+T)=f(x)恒成立.各个击破类题演练1求下列函数的最小正周期.（1）f(x)=3sinx;(2)f(x)=sin2x;(3)f(x)=2sin().解：（1）f(x)=3sinx=3sin(x+2π)=f(x+2π),函数的最小正周期为2π.(2)f(x)=sin2x=sin(2x+2π)=sin2(x+π)=f(x+π),函数的最小正周期为π.(3)f(x)=2sin()=2sin(+2π)＝2sin［(x+)+］=f(x+4π),函数的最小正周期为4π.变式提升1定义在R上的函数f(x)既是偶函数又是周期函数,若f(x)的最小正周期是π,且当x∈［0,2］时,f(x)=sinx,则f(π)的值为（）A.B.C.D.解析：由题意:f(π)=f(-π)=f(-π+2π)=f()=sin=.答案：D类题演练2设f(x)是定义在R上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上，f(x)=-2(x-3)2+4，求x∈［1,2］时，f(x)的解析表达式.解：当x∈［-3,-2］时，-x∈［２，3］.∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4.又∵f(x)是以2为周期的周期函数，当x∈［1,2］时，-3≤x-4≤-2,∴f(x)=f(x-4)=-2［（x-4）+3］2+4=-2(x-1)2+4.∴f(x)=-2(x-1)2+4(1≤x≤2).变式提升2定义在R上的偶函数f(x)，其图象关于直线x=2对称，当x∈(-2,2)时，f(x)=x2+1，则x∈(-6,-2)时，f(x)=__________________.解析：∵偶函数f(x)其图象关于直线x=2对称，∴f(x+4)=f(x)，f(x)是周期函数，且4是它的一个周期.当x∈(-6,-2),x+4∈(-2,2).∴f(x)=f(x+4)=(x+4)2+1=x2+8x+17.答案：x2+8x+17类题演练3证明下列函数不是周期函数.（1）y=x3;(2)y=sinx2.证明：（1）因为y=x3在x∈R上单调，设y取到值a,方程x3=a不可能有两个不同的根，因此y=x3不是周期函数.（2）设函数y=sinx2是周期函数，周期为T，那么对所有的x∈R，sin(x+T)2=sinx2.由x的任意性，T=0，所以函数y不可能是周期函数.变式提升3(1)证明f（x)=1(x∈R)是周期函数，但没有最小正周期.证明：因为对于任意实数T≠0，都有f(x+T)=f(x)=1，所以此函数是周期函数，其周期为任意非零实数.但所有正实数中没有最小值存在,故此函数没有最小正周期.(2)偶函数f(x)的定义域为R,若f(x-1)=f(x+1)对一切x∈R恒成立,又当0≤x≤1时,f(x)=-x2+4.①求证f(x)是周期函数,并确定它的周期;②求当1≤x≤2时,f(x)的解析式.①证明：∵f(x)定义域为R且f(x-1)=f(x+1),∴f(x+2)=f(x+1+1)=f(x+1-1)=f(x).则f(x)的一个周期为2,且2n(n∈Z,n≠0)都是y=f(x)的周期.②解：设1≤x≤2,则-2≤-x≤-1，因此，0≤2-x≤1,3由已知有：f(2-x)=-(2-x)2+4,∵f(x)的周期为2，且为偶函数，∴f(2-x)=f(-x)=f(x).∴当1≤x≤2时，f(x)=-(2-x)2+4.4
