高中数学第1章三角函数1.3.1三角函数的周期性课后导练苏教版必修4基础达标1.下列四个命题中正确的是（）A.周期函数必有最小正周期B.只有三角函数才是周期函数C.因为sin(kx+2π)=sinkx,所以y=sinkx的最小正周期为2πD.周期函数的定义域一定是无限集解析：由周期函数的定义域可知，A、B、C显然不对.答案：D2.函数y=3sin(2x+)的最小正周期是（）A.4πB.2πC.πD.解析：公式法T==π,故选C.答案：C3.函数f(x)=|cosx|+|sinx|为（）A.最小正周期是的偶函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期是的奇函数D.最小正周期为π的奇函数解析：很明显函数f(x)为偶函数，只要验证T=是否成立即可.答案：A4.函数f(x)的最小正周期为8，且等式f(4+x)=f(4-x)对一切实数都成立，则f(x)是（）A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数解析：∵函数的最小正周期为8，且f(4+x)=f(4-x)，对任意实数x都成立，∴f(x)=f(x+8)=f［4+(4+x)］=f［4-(4+x)］=f(-x).∴函数f(x)是偶函数.答案：B5.函数f(x)=tan的最小正周期是（）A.πaB.π|a|C.D.解析：公式：T==|a|π.答案：B6.设f(x)(x∈R)是以3为周期的奇函数且f(1)＞1,f(2)=a,则（）A.a＞2B.a＜-2C.a＞1D.a＜-1解析：f(2)=-f(-2)=-f(3-2)=-f(1)=a,∴f(1)=-a＞1,∴a＜-1.答案：D7.若f(x)是以为周期的奇函数，且f()=1,则f(-π)=______________________________.解析：f(-π)=f(-π+)=f(-)=-f()=-1.答案：-18.函数y=sin(ax+π)(a≠0)的最小正周期为________________.解析：(公式法)T=.答案：9.已知函数f(x)的图象如下,解答下列问题.(1)求函数的周期;(2)画出函数y=f(x+1)的图象;(3)你能写出函数y=f(x)的解析式吗?解析:(1)由图可知=1,∴T=2.(2)将y=f(x)的图象向左平移1个单位长度,就可得y=f(x+1)的图象.(3)先求出定义域为一个周期的函数y=f(x)x∈［-1,1］的解析式为y=|x|,x∈［-1,1］,再根据函数y=f(x)的图象和周期得到y=f(x)的解析式为y=|x-2k|,x∈［2k-1,2k+1］,k∈Z.答案：(1)2;(2)y=f(x)的图象如下图;(3)y=|x-2k|,x∈［2k-1,2k+1］,k∈Z.10.证明：若定义在R上的函数f(x)的图象关于点（a,y0）和（b,y0）(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期.证明：∵f(x)是图象关于点（a,y0）和（b,y0）（a≠b）对称，∴f(2a-x)=2y0-f(x),f(2b-x)=2y0-f(x),∴f［2(a-b)+x］=f［2a-(2b-x)］=2y0-f(2b-x)=2y0-［2y0-f(x)］=f(x),∴f(x)是周期函数，且2(a-b)是它的一个周期.综合运用11.函数y=cos(π+)的周期不大于2，则正整数k的最小值是（）A.10B.11C.12D.13解析：公式法：T=≤2.又∵k是正整数，∴k≥4π,∴k的最小值应为13.答案：D12.设定义在实数集上的偶函数y=f(x)是周期为2的周期函数，且当2≤x≤3时，f(x)=x,则当-1≤x≤0时，f(x)等于（）A.4+xB.2+|x+1|C.-2+xD.3-|x+1|解析：当x∈［-1,0］,-x∈［0,1］,-x+2∈［2,3］,f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x.因为3-|x+1|=2-x,∴f(x)=3-|x+1|.答案：D13.函数y=2|cos(4x-)|的最小正周期是_________________.解析：由y=cosx的周期是y=|cosx|的周期的2倍知，y=2|cos(4x-)|的周期是y=2cos(4x-）周期的一半.∴T=.答案：14.函数y=2sin(kx+)的周期为T，T∈(1,3),则正整数k=__________________.解析：公式法：∵T=,由1＜T＜3得,1＜＜3.当k＞0时，＜k＜2π.又∵k是整数，∴k=3,4,5,6.答案：3,4,5,615.求下列各函数的周期.（1）y=cos2x;（2）y=sinx;（3）y=2sin().解：（1）把2x看成是一个新的变量u，那么cosu的最小正周期是2π，就是说，当u增加到u+2π且必须增加到u+2π时，函数cosu的值重复出现.而u+2π=2x+2π=2(x+π),所以当自变量x增加到x+π且必须增加到x+π时，函数值重复出现，因此y=cos2x的周期是π.（2）如果令X=x则sinx=sinX，是周期函数且周期是2π,∴sin(x+2π)=sinx,即sin［(x+4π)］=sinx.∴sinx的周期是4π.（3）∵2sin(+2π)=2sin（）,即2sin［(x+4π)］=2sin(),∴2sin()的周期是4π.拓展探究16.证明:若定义在R上的函数f(x)的图象关于直线x=a和点（b,y0）(a≠b)对称，则函数f(x)是周期函数，且4(a-b)是它的一个周期.证明：∵函数f(x)的图象关于直线x=a对称,∴f(x)=f(2a-x).又∵f(x)的图象关于点(b,y0)(a≠b)对称,∴f(2b-x)=2y0-f(x),∴f［4(a-b)+x］=f［2a-(4b-2a-x)］=f(4b-2a-x)=f［2b-(2a-2b+x)］=2y0-f(2a-2b+x)=2y0-f［2a-(2b-x)］=2y0-f(2b-x)=2y0-(2y0-f(x))=f(x).∴f(x)是周期函数,且4(a-b)是它的一个周期.
