高中数学 第1章 三角函数 1.3 三角函数的图象和性质知识导航 苏教版必修4-苏教版高一必修4数学试题VIP免费

1.3三角函数的图象和性质知识梳理1.一般地，对于函数y=f(x)，如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函数y=f(x)叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期.2.正弦函数、正切函数的图象都可借助单位圆中的三角函数线作出.3.正弦曲线与余弦曲线的关系我们知道y=cosx=sin(+x)(x∈R)，由此可知余弦函数y=cosx的图象与正弦函数y=sin(+x)(x∈R)的图象相同，于是把正弦曲线向左平移个单位就可得到余弦函数的图象.4.正弦、余弦、正切函数的主要性质.函数性质y=sinxy=cosxy=tanx定义域RR{x|x≠+kπ,k∈Z}值域［-1,1］［-1,1］R周期2π2ππ奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性增区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)［-π+2kπ,2kπ］(k∈Z)(+kπ,+kπ)(k∈Z)减区间［+2kπ,+2kπ］(k∈Z)［2kπ,2kπ+π］(k∈Z)无对称性对称中心(kπ,0)(k∈Z)(kπ+,0)(k∈Z)(,0)(k∈Z)对称轴x=kπ+(k∈Z)x=kπ(k∈Z)无5.函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法.(1)“五点法”作图用“五点法”作函数y=Asin(ωx+φ)(A≠0,ω>0)的图象时，关键是五个点的选取.设X=ωx+φ，由X取0,，π，，2π来求相应x的值及对应的y的值，再描点作图.(2)利用图象变换法则作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象①相位变换y=sinxy=sin(x+φ).②周期变换y=sinxy=sinωx.1③振幅变换y=sinxy=Asinx.④当函数y=Asin(ωx+φ)〔A>0,ω>0,x∈(0,+∞)〕表示一个振动量时，则A叫做振幅，T=叫做周期.y=Asin(ωx+φ)可以这样得到:y=sinxy=sin(x+φ)y=sin(ωx+φ)y=Asin(ωx+φ).6.三角函数的应用三角函数的模型可以应用到实际问题中，三角函数模型的建立程序如下:知识导学要学好本节内容，可通过展示三角函数具有f(x+T)=f(x)的特征，由此引入函数周期性.借助一定的实例展现正弦函数的图象，从观察图象上的关键点，体会“五点法”画简图的方法.借助图象的支持来学习正、余弦函数性质.对于正切函数，可以先认识其性质，再画图象，为此在图象产生后，可以反过来利用图象观察性质.借助实例或借助计算机模拟A、ω、φ的变化对函数y=Asin(ωx+φ)图象的影响，从而建立y=sinx与y=Asin(ωx+φ)图象的联系.从中掌握由φ→ω→A的变换，或由ω→φ→A的变换，从本质上掌握这类变换.通过图象认识y=Asin(ωx+φ)图象的五个关键点，由此得出“五点法”画y=Asin(ωx+φ)图象的方法.通过课本中的3个例题，理解将实际问题直接抽象为与三角函数有关的简单函数模型，根据所得的模型解决问题.疑难突破1.三角函数图象的五点法作图.剖析:y=sinx，x∈［0,2π］的图象上有五点起决定作用，它们是(0,0)，(,1)，(π,0)，(,-1),(2π,0)，描出这五点后，其图象的形状基本上就确定了.(0,1)，(,0)，(π,-1)，(,0),(2π,1)这五点描出后，余弦函数y=cosx，x∈［0,2π］的图象的形状也就基本上确定了，因此可以用五点法作余弦函数y=cosx的图象，如图1-3-1.图1-3-1所以，在精确度要求不太高时，常常先找出这五个点，然后再用平滑的曲线将它们连接起来，就得到在相应区间内正弦函数、余弦函数的简图，这种方法叫五点法.2注意:(1)五点法是画三角函数图象的基本方法，要切实掌握好，与五点法作图有关的问题曾出现在历届高考试题中.(2)作图象时，函数自变量要用弧度制，这样自变量与函数值均为实数，因此，在x轴、y轴上可以统一单位，作出的图象正规，利于应用.2.周期函数.剖析:(1)周期函数的定义应对定义域中的每一个x值来说，只有个别的x值或只差个别的x值满足f(x+T)=f(x)或不满足,都不能说T是y=f(x)的周期.例如sin(+)=sin,但是sin(+)≠sin.就是说不能对x在定义域内的每一个值都有sin(x+)=sinx，因此不是y=sinx的周期.(2)从等式f(x+T)=f(x)来看，应强调的是自变量x本身加的常数才是周期，如f(+T)=f()，T不是周期，而应写成f(+T)=f［(x+2T)］=f()，则2T是y=f(x)的周期.(3)对于周期函数来说，如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就称它为最小正周期，今后提到的三角函数的周期，如未特别指明，一般都是指它的最小正周期.(4)并不是所有周期函数都存在最小正周期，例如，常数函数f(x)=C(C为常数)，x∈R，当x为定义域内的任意值时，函数值都是C，即对于...