1.3.1三角函数的周期性[学生用书P87(单独成册)])[A基础达标]1．函数y＝sin4x的周期是()A．4πB．2πC．πD．解析：选D．T＝＝.2．已知函数y＝2cos(ω<0)的最小正周期是4π，则ω＝()A．1B．C．－1D．－解析：选D．因为T＝＝4π，所以|ω|＝，因为ω<0，所以ω＝－.3．函数f(x)＝cos2x＋|cos2x|的最小正周期为()A．4πB．2πC．πD．解析：选C．由f(x)＝cos2x＋|cos2x|＝故所求最小正周期T＝＝π.4．函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)＝2，则f(5)＝()A．2B．1C．－2D．－1解析：选C．因为f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，所以f(x＋3)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)，又f(1)＝2，所以f(5)＝f(2＋3)＝f(2)＝f(－1＋3)＝f(－1)＝－f(1)＝－2.5．设f(x)是定义在R上的奇函数，f(x＋4)＝－f(x)，且f(4)＝5，则f(－20)＝________，f(2020)＝________．解析：由f(x＋4)＝－f(x)，得f(x)＝－f(x＋4)＝－[－f(x＋4＋4)]＝f(x＋8)，所以T＝8，f(－20)＝f(－24＋4)＝f(4)＝5，f(2020)＝f(252×8＋4)＝f(4)＝5.答案：556．若函数f(x)的定义域为R，最小正周期为，且满足f(x)＝，则f＝________．解析：f＝f＝f＝sin＝.答案：7．已知函数f(x)满足f(1)＝2，且f(x＋1)＝－(f(x)≠0)对任意x∈R恒成立，则f(5)＝________．解析：因为f(x＋1)＝－，所以f(x＋2)＝－，所以f(x＋2)＝－＝f(x)，所以f(x)的周期为2，所以f(5)＝f(1)＝2.答案：28．已知函数f(x)＝sin，其中k≠0，当自变量x在任何两整数间(包括整数本身)变化时，至少含有1个周期，则最小的正整数k为________．解析：由正弦函数的周期公式，得T＝＝，由题意知0<≤1.解得k≥20π≈62.8.所以正整数k的最小值为63.答案：639．设f(x)是定义在R上的最小正周期为的函数，且在上f(x)＝求f的值．解：因为f(x)的最小正周期为，所以f＝f(x)，f＝f＝f＝f＝f＝f＝f，又－∈，所以f＝sin＝－sin＝－，所以f＝－.10．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期为π，且当x∈时，f(x)＝sinx，求f的值．解：由题意，得f＝f＝f＝f＝f＝－f.因为当x∈时，f(x)＝sinx，所以f＝－sin＝－.[B能力提升]1．已知函数f(x)＝sin(k为正整数)，要使f(x)的周期在内，则正整数k的最小值为________，最大值为________．解析：由周期公式，得T＝＝，由题意知＜＜.因为k＞0，所以＜＜，即＜k＜9π，所以kmin＝15，kmax＝28.答案：15282．设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x－2)＝f(x＋2)，f(1)＝2，则f(2)＋f(7)＝________．解析：由f(x－2)＝f(x＋2)得T＝4，由f(x－2)＝f(x＋2)得f(－2)＝f(2)，即－f(2)＝f(2)，所以f(2)＝0，f(7)＝f(－1)＝－f(1)＝－2，故f(2)＋f(7)＝0＋(－2)＝－2.答案：－23．已知f(k)＝sin，k∈Z.(1)求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)；(2)求f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)的值．解：(1)证明：因为sin＝sin＝sinπ(k∈Z)，所以f(k)＝f(k＋8)，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝f(9)＋f(10)＋…＋f(16)．(2)因为f(k)是以8为一个周期的周期函数，而2016＝252×8，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2016)＝252[f(1)＋f(2)＋…＋f(8)]．又因为f(1)＋f(2)＋…＋f(8)＝sin＋sin＋…＋sin＝0，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2015)＋f(2016)＝0.4．(选做题)已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x＋2)＝－(f(x)≠0)．(1)求证：函数f(x)是周期函数；(2)若f(1)＝－5，求f(f(5))的值．解：(1)证明：因为f(x＋2)＝－，所以f(x＋4)＝－＝－＝f(x)．所以f(x)是周期函数，4就是它的一个周期．(2)因为4是f(x)的一个周期．所以f(5)＝f(1)＝－5，所以f(f(5))＝f(－5)＝f(－1)＝＝＝.
