高中数学第1章三角函数1.2.3三角函数的诱导公式课堂导学苏教版必修4三点剖析1.三角函数的诱导公式【例1】求下列各三角函数值.(1)sin();(2)cos();(3)tan(-855°).思路分析：直接运用诱导公式进行变形求值即可.解：(1)sin()=-sin=-sin(2π+)=-sin=-sin(π+)=sin=.(2)cos=cos(4π+)=cos=cos(π)=-cos=.(3)tan(-855°)=-tan855°=-tan(2×360°+135°)=-tan135°=-tan(180°-45°)=tan45°=1.温馨提示对于负角的三角函数求值，可先利用诱导公式三，化为正角的三角函数，若化了以后的正角大于360°,再利用诱导公式一，化为0°—360°间的角的三角函数，若这时是90°—360°间的角，再利用180°+α或180°-α或360°-α的诱导公式化为0°—90°间的角的三角函数.【例2】化简：(k∈Z).思路分析：将k分为奇数和偶数，再利用诱导公式.解法1：当k=2n,n∈Z时，原式=cos(kπ++α)+cos(kπ--α)=cos(2nπ++α)+cos(2nπ--α)=cos(+α)+cos(+α)=2cos(+α).当k=2n+1，n∈Z时，原式=cos［(2n+1)π++α］+cos［(2n+1)π--α］=cos(π++α)+cos(π--α)=-cos(+α)-cos(+α)=-2cos(+α).解法2： (kπ++α)+(kπ--α)=2kπ,∴cos(kπ--α)=cos［2kπ-（kπ++α）］=cos(kπ++α).∴原式＝2cos（kπ--α）=温馨提示观察每组诱导公式的等号两边的角度，不难发现，这两个角度的和或差是一个轴线角，即为kπ，k∈Z的形式.于是诱导公式的一个重要的功能是：如果两个角的和或差是轴线角kπ，k∈Z的话，利用诱导公式总可以把它们变成同角函数来处理.2.关于直线y=x对称的点的性质与（±α）的诱导公式【例3】证明sin（-α）=-sinα,cos（-α）=cosα,tan(-α)=-tanα.思路分析：利用三角函数定义解析问题.证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1（x,y），由于角-α的终边与角α的终边关于x轴对称，角-α的终边与单位圆的交点P2与点P1，关于x轴对称，因此点P2的坐标是（x,-y），由三角函数的定义得sinα=y,cosα=x,tanα=;sin(-α)=-y,cos(-α)=x,tan(-α)=-;从而得sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.温馨提示学习过程中，充分理解本节的宗旨，突出数形结合思想.3.诱导公式应用时符号的确定【例4】已知sin（3π+θ）=,求的值.解析： sin(3π+θ)=,∴sinθ=-.∴原式====18.温馨提示应用公式时，名称是否变化一般能观察明白，而函数符号的判断要注意，易出错.各个击破类题演练1求下列各三角函数值.(1)sin();(2)cos(-945°).解：（1）解法1：sin()=-sin16=-sin(4π+)=-sin=-sinπ+=sin=.解法2：sin()=sin(-6π+)=sin=sin(π-)=sin=.(2)cos(-945°)=cos945°=cos（2×360°+225°）=cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=.变式提升1计算：（1）cos+cos+cos+cos;(2)tan10°+tan170°+sin1866°-sin(-606°).解：(1)原式=(cos+cos)+(cos+cos)=［cos+cos(π-)］+［cos+cos(π-)］=(cos-cos)+(cos-cos)=0.(2)原式=tan10°+tan(180°-10°)+sin1866°-sin(-606°)=tan10°++sin(5×360°+66°)-sin［（-2）×360°+114°］=tan10°-tan10°+sin66°-sin66°=0.类题演练2化简：(n∈Z).思路分析：考查诱导公式的应用，关键在于去掉“n”.解：原式=变式提升2(1)已知tan(π-α)=2,求的值.思路分析：首先求出tanα,其次将所求式子“弦化切”化简.解：由tan(π-α)=2得tanα=-2.则原式==.(2)已知：cos(-2α)=m,求cos(2α+)的值.思路分析：根据（-2α）与（2α+）是互补的角，适当选择诱导公式计算.解： （-2α）+(2α+)=π,∴cos(2α+)=cos［π-(-2α)］=-cos(-2α)=-m.类题演练3求证sin（π-α）=sinα,cos（π-α）=-cosα,tan(π-α)=-tanα.证明：设任意角α的终边与单位圆的交点坐标为P1（x,y），由于角（π-α）的终边与角α的终边关于y轴对称，角（π-α）的终边与角α的终边关于x轴对称，角（π-α）的终边与单位圆的交点P2与点P1关于y轴对称，因此点P2的坐标是（-x,y），由三角函数的定义得：sinα=y,cosα=x,tanα=;sin(π-α)=y,cos(π-α)=-x,tan(π-α)=-;从而得sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα,tan(π-α)=-tanα.变式提升3求证：sin(-α)=cosα,cos(-α)=sinα.证明：设任意角α的终...
