高中数学第1章三角函数1.2.2同角三角函数关系课堂导学苏教版必修4三点剖析1.同角三角函数关系【例1】已知sinθ-cosθ=,则sin3θ-cos3θ=__________________.思路分析：把sin3θ-cos3θ变形凑出含有sinθ-cosθ的代数式代入求值.解析：∵sinθ-cosθ=,∴(sinθ-cosθ)2=.∴1-2sinθcosθ=.∴sinθ·cosθ=.∴sin3θ-cos3θ=(sinθ-cosθ)(sin2θ+sinθ·cosθ+cos2θ)=·(1+)=.答案：温馨提示若已知sinα-cosα与sinα+cosα其中一个条件，求sin2α·cos2α,sin3α±cos3α时，常用凑出sinα·cosα与sinα±cosα的关系来变化.2．求三角函数式的值及证明三角函数恒等式【例2】已知cosα=,求sinα及tanα的值.思路分析：用同角三角函数关系解题.解：∵cosα＜0,且cosα≠-1∴α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角，那么sinα=.tanα==×(-)=.如果α是第三象限角，那么sinα=-,tanα=.温馨提示(1)要会用公式sin2α+cos2α=1的变形sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.(2)若已知正弦、余弦正切中的某一个三角函数值，但没有指定角所在的象限，要求另外两个三角函数值时，可按角所在象限分别进行讨论，进行运算，这时有两组结果，本题就属这种类型.【例3】求证：.思路分析1：注意到已给等式中含有正弦与余弦，因此采用正、余弦基本关系证明.证法1：左边=====右边.∴原式成立.思路分析2：注意到欲证式中只含有一个角θ的函数，因此可用三角函数定义证明.证法2：设P（x,y）是象限角θ终边上一点，|OP|=r＞0,则由三角函数的定义知：sinθ=,cosθ=,且x2+y2=r2.所以，左式====右式.故原式成立.思路分析3：考虑到A=BA-B=0,故此题可采用比较法.证法3：因为-==,所以.3.关于“1”的变换【例4】已知tanα=2,求sin2α-3sinαcosα+1的值.思路分析：主要应用“1”的变换.解：sin2α-3sinαcosα+1=sin2α-3sinαcosα+(sin2α+cos2α)=2sin2α-3sinαcosα+cos2α=.温馨提示已知tanα的值，求形如asin2α+bsinαcosα+ccos2α的值，可将分母1化为1=sin2α+cos2α代入，从而转化为关于tanα的表达式后再求值.各个击破类题演练1已知=-1,求值..解析：由已知，tanα=,所以，变式提升1已知tanα为非零实数，用tanα表示sinα,cosα.解：∵sin2α+cos2α=1,∴sin2α=1-cos2α.又∵=tanα,∴tan2α=.于是=1+tan2αcos2α=.由于tanα为非零实数，可知角α的终边不在坐标轴上，从而cosα=sinα=cosαtanα=类题演练2已知sinθ+cosθ=,θ∈(0,π)，求tanθ的值.解：将已知等式平方，得2sinθ·cosθ=.∵sinθ+cosθ=＞0,∴sinθ＞0,cosθ＜0∴cosθ＜0＜sinθ,∴sinθ-cosθ＞0.而（sinθ-cosθ）2=1-2sinθcosθ=,于是sinθ-cosθ=.和已知等式联立，便可解得sinθ=,cosθ=,tanθ=.变式提升2已知f(x)=,若α∈(,π),则f(cosα)+f(-cosα)可化简为_______________.解：f(cosα)+f(-cosα)==答案：类题演练3求证：（1）;(2).思路分析：（1）切化弦，（2）左边入手，利用平方差公式.证明：（1）左边===右边.所以,原命题成立.（2）左边======所以，原命题成立.变式提升3已知tan2α=2tan2β+1,求证：sin2β=2sin2α-1.证明：因为tan2α=2tan2β+1,所以=,所以.所以sin2α(1-sin2β)=(1-sin2α)(1+sin2β).所以sin2β=2sin2α-1.类题演练4的值为（）A.sinα+cosαB.sinα-cosαC.cosα-sinαD.|sinα+cosα|解析：∵1+2sinαcosα=sin2α+2sinαcosα+cos2α=(sinα+cosα)2∴原式==|sinα+cosα|,故选D.答案：D变式提升4若β∈［0,2π),且+=sinβ-cosβ,则β的取值范围是（）A.［0,)B.［,π］C.［π,］D.［,2π)解析：∵+==|sinβ|+|cosβ|=sinβ-cosβ,∴sinβ≥0,cosβ≤0,∴β是第二象限角（包括x轴负半轴和y轴正半轴）.∵0≤β＜2π,∴β∈［,π］.答案：B
