高中数学第1章三角函数1.2.1任意角的三角函数课堂导学苏教版必修4三点剖析1.任意角的正弦、余弦、正切的定义【例1】有下列命题，其中正确的命题的个数是()①终边相同的角的同名三角函数的值相同②终边不同的角的同名三角函数的值不等③若sinα＞0，则α是第一、二象限的角④若α是第二象限的角，且P（x,y）是其终边上一点，则cosα=A.1B.2C.3D.4思路分析：运用概念判断.解析：由任意角三角函数定义知①正确；对②，我们举出反例sin=sin；对③，可指出sin＞0，但不是第一、二象限的角；对④，应是cosα=.综上选A.答案：A温馨提示要准确地理解任意角的三角函数定义，可与三角函数线结合记忆.2．角、实数和三角函数值之间的对应关系【例2】判断下列各式的符号.（1）tan250°·cos(-350°);(2)sin151°cos230°；(3)sin3cos4tan5;(4)sin(cosθ)·cos(sinθ)(θ是第二象限角).思路分析：本题主要考查三角函数的符号.角度确定了，所在的象限也就确定了.三角函数的符号也就确定了.进一步再确定各式的符号.对于（4），视sinθ、cosθ为弧度数.解：（1）∵tan250°＞0,cos(-350°)＞0,∴tan250°·cos(-350°)＞0.(2)∵sin151°＞0,cos230°＜0,∴sin151°·cos230°＜0.(3)∵＜3＜π,π＜4＜,＜5＜2π,∴sin3＞0,cos4＜0,tan5＜0,∴sin3·cos4·tan5＞0.(4)∵θ是第二象限角，∴0＜sinθ＜1＜,∴cos(sinθ)＞0.同理，-＜-1＜cosθ＜0,∴sin(cosθ)＜0,故sin（cosθ）·cos(sinθ)＜0.温馨提示(1)判断各三角函数值的符号，须判断角所在的象限.（2）sinθ既表示角θ的正弦值，同时也可以表示［-1，1］上的一个角的弧度数.（3）中解题的关键是将cosθ、sinθ视为角的弧度数.【例3】求函数y=的定义域.思路分析：运用等价及集合的思想.解：只需满足条件∴函数的定义域为{x|2kπ＜x＜2kπ+,k∈Z}.温馨提示利用图形，可直观找出不等式组的解集，体现了数形结合思想.各个击破类题演练1已知角α的终边经过点P（-6，-2），求α的三个三角函数值.解：已知x=-6,y=-2,所以r=,于是sinα=,cosα=tanα=.变式提升1已知角α的终边经过点P（2t,-3t）(t＜0),求sinα,cosα,tanα.解：∵x=2t,y=-3t∴r=∵t＜0∴r=∴sinα=cosα=,tanα=.类题演练2判断下列各式的符号（1）sin105°·cos230°;(2)sinπ·tanπ;(3)cos6·tan6;(4)sin4·tan().解：(1)∵105°、230°分别为第二、第三象限角，∴sin105°＞0.cos230°＜0.sin105°·cos230°＜0.(2)∵＜π＜π,∴π是第二象限角.∴sinπ＞0,tanπ＜0.∴sinπ·tanπ＜0.(3)∵π＜6＜2π,∴6弧度的角是第四象限角.∴cos6＞0,tan6＜0.∴cos6·tan6＜0.(4)∵π＜4＜π,∴sin4＜0.又=-6π+,∴与终边相同.∴tan()＞0.∴sin4·tan()＜0.变式提升2已知α是第三象限角，试判断sin（cosα）·cos（sinα）的符号.解：∵α是第三象限角.∴cosα＜0,sinα＜0.又|sinα|＜1,|cosα|＜1,∴-1＜cosα＜0,-1＜sinα＜0,∴sin(cosα)＜0,cos(sinα)＞0.∴sin(cosα)·cos（sinα）＜0.类题演练3已知角α的终边在直线y=-3x上，求10sinα+3cosα的值.解：设α终边上任意一点P（k,-3k）,则r=当k＞0时，r=,∴sinα=,cosα=.∴10sinα+3cosα=.当k＜0时，r=-k,∴sinα=,cosα=.∴10sinα+3cosα=.变式提升3已知α∈(0,),试比较α、sinα、tanα的大小.解：如右图，设锐角α的终边交单位圆于点P，过单位圆与x轴正半轴的交点A作圆的切线交OP延长线于T，并过点P作PM⊥x轴，则|MP|=sinα，|AT|=tanα，的长为α.连PA，∵S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，即|OA|·|MP|＜|OA|2·a＜|OA|·|AT|,|MP|＜α＜|AT|,∴sinα＜α＜tanα.
