高中数学第1章三角函数1.1.1任意角课堂导学苏教版必修4三点剖析1.任意角的概念和象限角的概念【例1】若α是第四象限角，那么是第几象限角？思路分析：运用直角坐标系内角的表示及不等式性质，先用不等式把第四象限的角表示出来，然后再确定的范围.解： α是第四象限角.∴270°+k·360°＜α＜360°+k·360°（k∈Z）,则有，135°+k·180°＜＜180°+k·180°(k∈Z).当k=2n(n∈Z)时，135°+n·360°＜＜180°+n·360°,∴是第二象限角.当k=2n+1(n∈Z)时315°+n·360°＜＜360°+n·360°，∴是第四象限角.综上所述，是第二或第四象限角.温馨提示准确表示第四象限角，再分k为偶数、奇数两种情况讨论.不要认为α为第四象限角,则是第二象限角.2．把终边相同的角用集合和符号语言正确的表示出来【例2】用集合的形式表示与下图中的角的终边相同的角的集合.思路分析：运用两角关系及终边相同角解决.解：（1）从图①中看出，图中两个角的终边在一条直线上.在0°—360°范围内，且另一个角为225°，故所求集合为S={β|β=45°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=225°+k·360°,k∈Z}={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=45°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=45°+（2k+1）·180°,k∈Z}={β|β=45°+n·180°，n∈Z}.(2)从图②中看出，图中两个角的终边关于x轴对称，故所求集合为S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=330°+k·360°,k∈Z}={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+360°+k·360°,k∈Z}={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（k+1）·360°,k∈Z}={β|β=±30°+n·360°，n∈Z}.(3)从图③中看出，图中两个角的终边关于y轴对称，故所求集合为S={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=150°+k·360°,k∈Z}={β|β=30°+k·360°，k∈Z}∪{β|β=-30°+180°+2k·180°,k∈Z}={β|β=30°+2k·180°，k∈Z}∪{β|β=-30°+（2k+1）·180°,k∈Z}={β|β=（-1）n·30°+n·180°，n∈Z}.温馨提示本题求解过程中，利用了数形结合的思想.两个集合并为一个集合，应先把两个集合变成一个统一的形式.否则，就不能并为一个集合.3．任意角的概念【例3】设集合M={小于90°的角}，N={第一象限的角}，则M∩N等于()A.{锐角}B.{小于90°的角}C.{第一象限角}D.以上均不对思路分析：抓住几个有关概念的区别.解：小于90°的角由锐角、零角、负角组成.而第一象限角包括锐角及终边在第一象限的角.M∩N由锐角及其终边在第一象限的负角组成.故选D.答案：D温馨提示上述几个概念用起来容易混淆，要加以辨别，搞清它们之间的关系.各个击破类题演练1若α是第二象限角，是第几象限角？解：因为α是第二象限角，则有：k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，所以k·120°+30°＜＜k·120°+60°，k∈Z.当k=3m(m∈Z)时，m·360°+30°＜＜m·360°+60°，m∈Z,所以是第一象限角.当k=3m+1(m∈Z)时，m·360°+150°＜＜m·360°+180°，m∈Z,所以是第二象限角.当k=3m+2(m∈Z)时，m·360°+270°＜＜m·360°+300°，m∈Z,所以是第四象限角.因此是第一、二、四象限角.变式提升1已知角α是第二象限角，求角2α是第几象限角.解：因为α是第二象限角，则k·360°+90°＜α＜k·360°+180°，k∈Z，∴2k·360°+180°＜2α＜2k·360°+360°,k∈Z,∴2α是第三或第四象限角，以及终边落在y轴的非正半轴上的角.类题演练2已知α=1690°，（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z,0°≤β＜360°）的形式；（2）求θ,使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°,并判断θ属于第几象限.解：（1）α=250°+4·360°（k=4,β=250°）.(2) θ与α终边相同，∴θ角可写成250°+k·360°.又 -360°＜θ＜360°,∴-360°＜250°+k·360°＜360°，k∈Z.解得k=-1或0,∴θ=-110°或250°,∴θ是第三象限角.变式提升2（1）与-457°角终边相同的角的集合是（）A.{α|α=k·360°+457°,k∈Z}B.{α|α=k·360°+97°,k∈Z}C.{α|α=k·360°+263°,k∈Z}D.{α|α=k·360°-263°,k∈Z}解法1： -457°=-2×360°+263°,∴应选C.解法2： -457°角与-97°角终边相同，又-97°角与263°角终边...
