课时分层作业(三十四)空间图形的表面积(建议用时:40分钟)一、选择题1.下列有四个结论,其中正确的是()A.各个侧面都是等腰三角形的棱锥是正棱锥B.三条侧棱都相等的棱锥是正棱锥C.底面是正三角形的棱锥是正三棱锥D.顶点在底面上的射影既是底面多边形的内心,又是外心的棱锥必是正棱锥D[A不正确,正棱锥必备两点,一是底面为正多边形,二是顶点在底面内的射影是底面的中心;B缺少第一个条件;C缺少第二个条件;而D可推出以上两个条件,故正确.]2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,则这个圆柱的表面积与侧面积之比为()A.B.C.D.A[设圆柱的底面半径为r,高为h,则有h=2πr,所以表面积与侧面积的比为2π(r2+rh)∶2πrh=(r+h)∶h=(2π+1)∶2π.]3.轴截面是正三角形的圆锥称为等边圆锥,则等边圆锥的侧面积是底面积的()A.4倍B.3倍C.倍D.2倍D[设轴截面正三角形的边长为2a,所以S底=πa2,S侧=πa×2a=2πa2,所以S侧=2S底.故选D.]4.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为()A.4+4B.4+4C.12D.8+4A[连接A1B.因为AA1⊥底面ABC,则AA1⊥BC,又AB⊥BC,AA1∩AB=A,所以BC⊥平面AA1B1B,所以直线A1C与侧面AA1B1B所成的角为∠CA1B=30°.又AA1=AC=2,所以A1C=2,BC=.又AB⊥BC,则AB=,则该三棱柱的侧面积为2×2+2×2=4+4,故选A.]5.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶C.1∶D.∶2C[设圆锥底面半径为r,则高h=2r,∴其母线长l=r.∴S侧=πrl=πr2,S底=πr2,S底∶S侧=1∶.]二、填空题6.斜三棱柱的底面是边长为5的正三角形,侧棱长为4,侧棱与底面两边所成角都是60°,那么这个斜三棱柱的侧面积是________.20+20[由题意可知S侧=2×5×4×sin60°+5×4=20+20.]7.一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半,且侧面积是32π,则母线长为________.4[ l=,∴S侧=π(R+r)l=2πl2=32π,∴l=4.]8.已知正三棱台的上底面边长为2,下底面边长为4,高为,则正三棱台的侧面积S1与底面积之和S2的大小关系为________.S1>S2[斜高h′==,S1=×(3×2+3×4)×=9,S2=×22+×42=5,∴S1>S2.]三、解答题9.圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍,轴截面的面积为392cm2,母线与轴的夹角为45°,求这个圆台的高、母线长和底面半径.[解]法一:圆台的轴截面如图所示,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm.即A′O′=xcm,AO=3xcm(O′,O分别为上、下底面圆心),过A′作AB的垂线,垂足为点D.在Rt△AA′D中,∠AA′D=45°,AD=AO-A′O′=2xcm,所以A′D=AD=2xcm,又S轴截面=(A′B′+AB)·A′D=×(2x+6x)×2x=392(cm2),所以x=7.综上,圆台的高OO′=14cm,母线长AA′=OO′=14cm,上、下底面的半径分别为7cm和21cm.法二:圆台的轴截面如图所示,根据题意可设圆台的上、下底面半径分别为xcm和3xcm,延长AA′,BB′交OO′的延长线于点S(O′,O分别为上、下底面圆心).在Rt△SOA中,∠ASO=45°,所以SO=AO=3xcm,又SO′=A′O′=xcm,所以OO′=2xcm.又S轴截面=×(2x+6x)×2x=392(cm2),所以x=7.综上,圆台的高OO′=14cm,母线长AA′=OO′=14cm,上、下底面的半径分别为7cm,21cm.10.如图所示,正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截,得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;(2)若大棱锥PO的侧棱为12cm,小棱锥底面边长为4cm,求截得棱台的侧面积和全面积.[解](1)设正六棱锥的底面边长为a,侧棱长为b,则截面的边长为,∴S大棱锥侧=c1h1=×6a×=3a,S小棱锥侧=c2h2=×3a×=a,S棱台侧=(c1+c2)(h1-h2)=(6a+3a)×=a,∴S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.(2)S侧=(c1+c2)(h1-h2)=144(cm2),S上=6××4×4×sin60°=24(cm2),S下=6××8×8×sin60°=96(cm2),∴S全=S侧+S上+S下=144+120(cm2).1.若某圆锥的高等于其底面直径,则它的底面积与侧面积之比为()A.1∶2B.1∶C.1∶D.∶2...